CHỨNG MINH :A=\(\frac89+\frac{24}{25}+\frac{48}{49}+\cdots+\frac{10200}{10201}\) >99,75
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TC
0
NT
0
NH
0
13 tháng 6 2017
Ta có:
\(\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}=1-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}>1-\frac{1}{n\left(n+2\right)}=1+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n}\right)\)
Thế vô bài toán ta được
\(B=\frac{2.4}{3^2}+\frac{4.6}{5^2}+...+\frac{200.202}{201^2}\)
\(>1+1+...+1+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{202}-\frac{1}{200}\right)\)
\(=100+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{202}-\frac{1}{2}\right)=\frac{10075}{101}>99,75\)
TN
13 tháng 6 2017
Ta có đánh giá sau:\(\frac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}=1-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)
\(>1-\frac{1}{x\left(x+2\right)}=1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\)
Suy ra \(B=\frac{2\cdot4}{3^2}+\frac{4\cdot6}{5^2}+\frac{6\cdot8}{7^2}+...+\frac{200\cdot202}{201^2}\)
\(>1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+...+1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{200}-\frac{1}{202}\right)\)
\(=100-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}-\frac{1}{202}\right)\)
\(=100-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{202}\right)\)\(=100-\frac{1}{2}\cdot\frac{50}{101}\)
\(>100-\frac{1}{2}\cdot\frac{50}{100}=100-0,25=99,75\)
Tức là \(B>99,75\)
...
A=98+89+2524+2425+4948+4849+⋯+1020110200+1020010201 \(A = \left(\right. \frac{8}{9} + \frac{9}{8} \left.\right) + \left(\right. \frac{24}{25} + \frac{25}{24} \left.\right) + \left(\right. \frac{48}{49} + \frac{49}{48} \left.\right) + \hdots + \left(\right. \frac{10200}{10201} + \frac{10201}{10200} \left.\right)\)
Xét mỗi nhóm:
\(\frac{8}{9} + \frac{9}{8} = \frac{8^{2} + 9^{2}}{72} = \frac{145}{72} > 2\) \(\frac{24}{25} + \frac{25}{24} = \frac{24^{2} + 25^{2}}{600} = \frac{1201}{600} > 2\) \(\frac{48}{49} + \frac{49}{48} = \frac{48^{2} + 49^{2}}{2352} = \frac{4705}{2352} > 2\) \(\hdots\) \(\frac{10200}{10201} + \frac{10201}{10200} = \frac{10200^{2} + 10201^{2}}{10200 \cdot 10201} > 2\)
Các nhóm có dạng:
\(\frac{n}{n + 1} + \frac{n + 1}{n} > 2\)
Dãy mẫu số:
\(9 , 25 , 49 , \ldots , 10201\)
là:
\(3^{2} , 5^{2} , 7^{2} , \ldots , 101^{2}\)
Số nhóm là số số lẻ từ \(3\) đến \(101\):
\(\frac{101 - 3}{2} + 1 = 50\)
Mỗi nhóm \(> 2\), nên:
\(A > 50 \cdot 2 = 100\) \(100 > 99 , 75\) \(\boxed{A > 99 , 75}\)