K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
22 tháng 6 2021
Sửa đề chút. Tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\).
a) \(I\)thuộc trung trực của \(AB\)nên \(IA=IB\)suy ra tam giác \(AIB\)cân tại \(I\).
Tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\)có \(IA=IB\), \(I\in BC\)suy ra \(I\)là trung điểm của \(BC\)
suy ra \(IA=IB=IC\)\(\Rightarrow\Delta AIC\)cân tại \(I\).
b) Xét tam giác \(BCM\)có \(MI\perp BC,CA\perp MB\)và \(CA\)cắt \(MI\)tại \(N\)nên \(N\)là trực tâm của tam giác \(BCM\).
Suy ra \(EB\perp MC\).
c) \(N\)thuộc đường trung trực của \(BC\)nên \(NB=NC\)
suy ra \(\Delta NAB=\Delta NEC\)(cạnh huyền - góc nhọn)
suy ra \(AB=EC\)
mà \(MB=MC\)(do \(M\)thuộc đường trung trực của \(BC\))
nên \(MB-AB=MC-EC\Leftrightarrow MA=ME\)
suy ra \(\widehat{MAE}=\frac{180^o-\widehat{AME}}{2}\)
mà \(\widehat{MBC}=\frac{180^o-\widehat{BMC}}{2}\)
mà hai góc này ở vị trí đồng vị do đó \(AE//BC\).
d) Có \(AE//BC\)suy ra \(\widehat{NAE}=\widehat{ACI}\)(hai góc so le trong)
suy ra \(\widehat{NAE}=\widehat{NAI}\)(vì \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)do tam giác \(IAC\)cân tại \(I\))
Tam giác \(AIE\)có \(AN\)vừa là trung tuyến vừa là phân giác nên tam giác \(AIE\)cân tại \(A\).
suy ra tam giác \(AIE\)đều (vì \(IE=IA\))
suy ra \(\widehat{ACB}=\widehat{NAE}=\frac{1}{2}\widehat{EAI}=\frac{1}{2}.60^o=30^o\).
Vậy tam giác \(ABC\)có \(\widehat{ACB}=30^o\)thì \(N\)là trọng tâm tam giác \(AIE\).
CM
13 tháng 6 2018
Gọi M là trung điểm của BC
Ta tính được AG = 2 3 AM = 10cm
Gọi N là trung điểm của AB => MN//AC, MN ⊥ AB
D,I,G thẳng hàng
<=> A G A M = A D A N = 2 3 <=> A D 2 A N = 1 3 <=> A D A B = 1 3
Ta có AD = r nội tiếp = A B + A C - B C 2 <=> A B 3 = A B + A C - B C 2
<=> AB+3AC = 3BC = A B 2 + A C 2
<=> 3AC = 4AB (đpcm)
Áp dụng kết quả trên ta có: AD = A B + A C - B C 2 = 3cm
=> ID = DA = 3cm => IG = DG – ID = 1cm
16 tháng 4 2017
ĐK LÀ GÌ VẬY BẠN ...CÁI ĐỀ BẠN CÓ THỂ GHI RÕ KHÔNG MÌNH NGHĨ MÌNH CÓ THỂ GIÚP ĐƯỢC
Kí hiệu:
a = BC, b = CA, c = AB, nên tam giác ABC vuông tại A có
a² = b² + c², với b > c.
Gọi
r = AE = AF = ID = IE
là bán kính đường tròn nội tiếp.
Vì tam giác vuông tại A nên
r = (b + c - a)/2.
Ngoài ra:
CE = CD = b - r = (a + b - c)/2.
Ta còn gọi
T = AI ∩ BC.
a) Chứng minh I, E, C, D cùng thuộc một đường tròn
Ta có:
IE ⟂ AC, mà E thuộc AC
nên góc IEC = 90°.
Lại có:
ID ⟂ BC, mà D thuộc BC
nên góc IDC = 90°.
Suy ra
góc IEC + góc IDC = 180°.
Vậy tứ giác IECD nội tiếp.
Đpcm.
b) Gọi K, O lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh K, O, S thẳng hàng
Vì K là trung điểm AB, O là trung điểm BC nên trong tam giác ABC ta có
KO // AC. (1)
Vì thế, để chứng minh K, O, S thẳng hàng, chỉ cần chứng minh S nằm trên đường thẳng qua O song song AC.
Gọi U là giao điểm của AI với đường thẳng qua O song song AC.
Bước 1. Tính tỉ số AS/STTa sẽ chứng minh U trùng S.
Trong tam giác ABC, vì AI là phân giác góc A nên theo định lí phân giác:
BT/TC = AB/AC = c/b
suy ra
TC = ab/(b + c). (2)
Xét tam giác ACT, đường thẳng DES cắt AC tại E, cắt CT tại D, cắt AT tại S.
Theo hệ thức tỉ số trên tam giác ACT:
CE/EA . AS/ST . TD/DC = 1
hay
AS/ST = EA/CE . DC/TD.
Mà
EA = r, CE = CD = b - r
nên
AS/ST = r/TD. (3)
Bây giờ ta tính TD:
TD = CD - CT
= (b - r) - ab/(b + c).
Thay r = (b + c - a)/2 vào:
TD = (a + b - c)/2 - ab/(b + c)
= [(a + b - c)(b + c) - 2ab] / [2(b + c)]
= [ab + ac + b² - c² - 2ab] / [2(b + c)]
= [ac - ab + b² - c²] / [2(b + c)]
= [(b - c)(b + c - a)] / [2(b + c)]
= r(b - c)/(b + c).
Từ (3) suy ra
AS/ST = (b + c)/(b - c). (4)
Bước 2. Tính tỉ số AU/UTVì O là trung điểm BC nên
CO = a/2.
Từ (2):
TO = TC - CO
= ab/(b + c) - a/2
= a(b - c)/[2(b + c)]. (5)
Do OU // AC, trong tam giác TCA ta có
TU/TA = TO/TC.
Thay (2), (5) vào:
TU/TA = [a(b - c)/2(b + c)] / [ab/(b + c)]
= (b - c)/(2b).
Suy ra
AU/UT = (b + c)/(b - c). (6)
Từ (4) và (6), lại do S, U cùng thuộc tia AT, nên
S ≡ U.
Vậy S nằm trên đường thẳng qua O song song AC.
Kết hợp với (1), suy ra
K, O, S thẳng hàng.
Đpcm.
c) Gọi M = KI ∩ AC. Đường thẳng AH cắt DE tại N. Chứng minh góc HNM = góc EMN
Ta sẽ chứng minh
AM = AN.
Khi đó tam giác AMN cân tại A, suy ra
góc ANM = góc AMN.
Vì A, H, N thẳng hàng và A, E, M thẳng hàng nên
góc HNM = góc ANM = góc AMN = góc EMN.
Vậy chỉ cần chứng minh AM = AN.
Bước 1. Chứng minh AM = CETa có:
IF // AC, vì IF ⟂ AB mà AC ⟂ AB.
Lại có:
KF cùng phương KA, và KM cùng phương KI.
Xét hai tam giác KFI và KAM:
góc KFI = 90° = góc KAMgóc KIF = góc KMAnên
tam giác KFI đồng dạng tam giác KAM.
Suy ra
AM/KA = FI/KF
hay
AM = KA . FI / KF.
Mà:
KA = AB/2 = c/2,
FI = r,
KF = KA - AF = c/2 - r.
Do đó
AM = (c/2 . r)/(c/2 - r)
= cr/(c - 2r).
Vì 2r = b + c - a nên
c - 2r = a - b,
suy ra
AM = cr/(a - b). (7)
Ta chứng minh biểu thức này bằng CE:
CE = b - r = (a + b - c)/2.
Cần chứng minh
cr/(a - b) = (a + b - c)/2.
Thay 2r = b + c - a, vế trái trở thành
c(b + c - a)/[2(a - b)].
Do
(a + b - c)(a - b)
= a² - b² - ac + bc
= c² - ac + bc
= c(b + c - a),
nên quả thật
c(b + c - a)/[2(a - b)] = (a + b - c)/2 = CE.
Từ đó suy ra
AM = CE. (8)
Bước 2. Chứng minh AN = CEXét tam giác ACH.
Vì AH là đường cao của tam giác vuông ABC nên
CH = AC²/BC = b²/a. (9)
Trong tam giác ACH, đường thẳng DEN cắt AC tại E, cắt CH tại D, cắt AH tại N.
Theo hệ thức tỉ số trên tam giác ACH:
CE/EA . AN/NH . HD/DC = 1.
Mà
EA = r, CE = CD = b - r
nên
AN/NH = r/HD. (10)
Từ (9):
HD = CH - CD
= b²/a - (b - r).
Thay r = (b + c - a)/2:
HD = b²/a - (a + b - c)/2
= [2b² - a(a + b - c)]/(2a)
= [b² - c² - ab + ac]/(2a)
= [(b - c)(b + c - a)]/(2a)
= r(b - c)/a.
Thế vào (10):
AN/NH = a/(b - c). (11)
Mặt khác N nằm trên tia AH nên
AN = AH + HN.
Từ (11) suy ra
AN/(AN - AH) = a/(b - c).
Giải ra:
AN = a.AH/(a - b + c).
Lại có
AH = AB.AC/BC = bc/a,
nên
AN = bc/(a - b + c). (12)
Ta dùng hằng đẳng thức:
(a + b - c)(a - b + c)
= a² - (b - c)²
= b² + c² - (b² - 2bc + c²)
= 2bc.
Từ đó
bc/(a - b + c) = (a + b - c)/2 = CE.
Kết hợp với (12), ta được
AN = CE. (13)
Bước 3. Kết luậnTừ (8) và (13):
AM = CE = AN
suy ra
AM = AN.
Vậy tam giác AMN cân tại A, nên
góc ANM = góc AMN.
Do A, H, N thẳng hàng và A, E, M thẳng hàng, suy ra
góc HNM = góc ANM = góc AMN = góc EMN.
Đpcm.