Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (A; B là hai tiếp điểm). Vẽ dây AD song song với SB, đoạn SD cắt (O) tại C. Gọi I là trung điểm của CD.a) Chứng minh: 5 điểm S, A, I, B cùng nằm trên một đường tròn và SA2 = SC.SDb) Gọi H là giao điểm của AB và SO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếpc) Gọi M là trung điểm của SB; E là giao điểm của SD và AB. Tia ME cắt AD tại F. Chứng...
Đọc tiếp
Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (A; B là hai tiếp điểm). Vẽ dây AD song song với SB, đoạn SD cắt (O) tại C. Gọi I là trung điểm của CD.
a) Chứng minh: 5 điểm S, A, I, B cùng nằm trên một đường tròn và SA2 = SC.SD
b) Gọi H là giao điểm của AB và SO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp
c) Gọi M là trung điểm của SB; E là giao điểm của SD và AB. Tia ME cắt AD tại F. Chứng minh: 3 điểm B, O, F thẳng hàng.
Cho đường tròn tâm (O). Từ điểm S ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến SA và SB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến SCD không đi qua tâm O (C nằm giữa S và D). Gọi I là trung điểm của CD.a/ Chứng minh các điểm S, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn.b/ Chứng minh IS là đường phân giác của góc AIB.c/ Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng SO và AB; N là giao điểm của hai đường thẳng SD và AB. Chứng minh MC.ND = NC.MD
a.
$I$ là trung điểm của $CD$ nên $OI \perp CD$.
$\Rightarrow \widehat{SIO} = 90^{\circ}$.
Mà $\widehat{SAO} = \widehat{SBO} = 90^{\circ}$.
Suy ra 5 điểm $S,A,I,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$.
Ta có $\widehat{SAC} = \widehat{ADC}$ (cùng chắn cung AC).
Xét $\Delta SAC$ và $\Delta SDA$ có
$\widehat{S}$ chung;
$\widehat{SAC} = \widehat{ADC}$
$\Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta SDA$ (g.g).
$\Rightarrow \dfrac{SA}{SD} = \dfrac{SC}{SA} \Rightarrow SA^2 = SC.SD.$
b.
$\Delta SAO$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$.
$\Rightarrow SA^2 = SH.SO$.
Từ câu a ta có $SH.SO = SC.SA = SA^2 \Rightarrow \dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SC}{SO}$.
Xét $\Delta SCH$ và $\Delta SOD$ có
$\widehat{S}$ chung;
$\dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SC}{SO}$
$\Rightarrow \Delta SCH \sim \Delta SOD$ (c.g.c).
$\Rightarrow \widehat{SCH} = \widehat{SOD}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow CHOD$ nội tiếp.
c.
Ta có $AD // SB$, $OB \perp SB \Rightarrow OB \perp AD.$
Mà đường kính thì đi qua trung điểm day cung nên $BO$ đi qua trung điểm của AD. (1)
Áp dụng định lí Talet với $AD // SB$, $E = AB \cap SD$ và $F = ME \cap AD$.
$\Rightarrow \dfrac{FD}{SM} = \dfrac{ED}{SE} = \dfrac{AD}{SB} \Rightarrow \dfrac{SM}{SB} = \dfrac{FD}{AD} \Rightarrow F$ là trung điểm của $AD$.
Mà theo (1) $BO$ đi qua trung điểm $F$ của $AD$ nên ba điểm $B,O,F$ thẳng hàng.