ĐKXĐ: \(n\notin\left\{1;-1\right\}\)

Để \(\dfrac{2n-1}{n^2-1}\in Z\) thì \(2n-1⋮n^2-1\)

=>\(\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)⋮n^2-1\)

=>\(4n^2-1⋮n^2-1\)

=>\(4n^2-4+3⋮n^2-1\)

=>\(n^2-1\inƯ\left(3\right)\)

=>\(n^2-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(n^2\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)

mà n là số nguyên

nên \(n^2\in\left\{0;4\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;2;-2\right\}\)

Thử lại, ta thấy chỉ có \(n\in\left\{0;2\right\}\) thỏa mãn

a: Ta có: \(2n+1⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow2n+4-3⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{-1;-3;1;-5\right\}\)

b: Để B là số nguyên thì \(n+3⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2+5⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{3;1;7;-3\right\}\)

c: Để C là số nguyên thì \(3n+7⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow3n-3+10⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;2;-2;5;-5;10;-10\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;3;-1;6;-4;11;-9\right\}\)

\(P=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{6}+\dfrac{2n+1}{1-2n}\)

Vì n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2) là tích của 3 số liên tiếp

nên n^3+3n^2+2n chia hết cho 3!=6

=>Để P nguyên thì 2n+1/1-2n nguyên

=>2n+1 chia hết cho 1-2n

=>2n+1 chia hết cho 2n-1

=>2n-1+2 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}\)

a, Để \(\dfrac{n+1}{n-2}\) có giá trị là một số nguyên thì n + 1 ⋮ n - 2

=> (n - 2) + 3 ⋮ n - 2

 Vì (n - 2) ⋮ n - 2 nên 3 ⋮ n - 2

=> n - 2 ∈ Ư(3) ∈ {-3;-1;1;3}

 => n ∈ {-1;1;3;5}

b, Để \(\dfrac{4n+5}{2n-1}\) có giá trị là một số nguyên thì 4n + 5 ⋮ 2n - 1

=> (4n - 2) + 7 ⋮ 2n - 1

=> 2(2n - 1) + 7 ⋮ 2n - 1

 Vì 2(2n - 1) ⋮ 2n -1 nên 7 ⋮ 2n - 1

=> 2n - 1 ∈ Ư(7) ∈ {-7;-1;1;7}

=> n ∈ {-3;0;1;4}

mình thua

bo tay

b:Ta có: \(A=\frac{2n-1}{n+8}-\frac{n-14}{n+8}\)

\(=\frac{2n-1-n+14}{n+8}=\frac{n+13}{n+8}\)

Để A là số nguyên thì n+13⋮n+8

=>n+8+5⋮n+8

=>5⋮n+8

=>n+8∈{1;-1;5;-5}

=>n∈{-7;-9;-3;-13}

AI CŨNG MUỐN ĐƯỢC TICK THI GIẢI TOÁN ĐI

Ta có : \(n^2+2n+2=\left(n+1\right)^2+1\ge1\forall n\)

Nên \(\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2-2n+2\right)\) là số nguyên tố thì :

\(\orbr{\begin{cases}n^2+2n+2=1\\n^2-2n+2=1\end{cases}}\)

+) Với \(n^2+2n+2=1\) \(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow n=-1\) ( Loại do n tự nhiên )

+) với \(n^2-2n+2=1\) \(\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow n=1\) ( Thỏa mãn )

Thử lại với \(n=1\) thì \(\left(n^2+2n+2\right)\left(n^2-2n+2\right)=\left(1+2+2\right)\left(1-2+2\right)=5\) là số nguyên tố.

Vậy \(n=1\) thỏa mãn đề.