Tìm số tự nhiên n sao cho \(A=n^{2027}+n^{2023}+1\) là số nguyên tố
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LC
1
LT
28 tháng 7 2019
Vì A là snt nên A có 2 ước nguyên tố là 1 và chính nó.
Bởi vậy một trong hai nhân tử là n và (n^2+n+1) phải bằng 1
Xét n=1\(\Rightarrow A=1\times\left(1^2+1+1\right)=3\)hợp lí
xét (n^2+n+1) = 1
\(\Rightarrow n^2+n=0\Rightarrow n=0\)
\(\Rightarrow A=0\times\left(0^2+0+1\right)=0\)vô lý
\(\Rightarrow n=1,A=3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 7 2024
1.
$4-n\vdots n+1$
$\Rightarrow 5-(n+1)\vdots n+1$
$\Rightarrow 5\vdots n+1$
$\Rightarrow n+1\in \left\{1; 5\right\}$
$\Rightarrow n\in \left\{0; 4\right\}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 7 2024
2.
Nếu $n$ chẵn $\Rightarrow n+6$ chẵn.
$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ chẵn $\Rightarrow (n+3)(n+6)\vdots 2$
Nếu $n$ lẻ $\Rightarrow n+3$ chẵn.
$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ chẵn $\Rightarrow (n+3)(n+6)\vdots 2$
HD
0
NL
1
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
24 tháng 2 2023
TH1: n=3
=>P=(3-2)(3^2+3-5)=12-5=7(nhận)
TH2: n=3k+1
P=(3k+1-2)(9k^2+6k+1+3k+1-5)
=(3k-1)(9k^2+9k-3) chia hết cho 3
=>Loại
TH3: P=3k+2
P=(3k+2-2)(9k^2+12k+4+3k+2-5)
=3k(9k^2+15k+1) chia hết cho 3
=>Loại
Ta có:
\(A = n^{2027} + n^{2023} + 1\)
🔎 Bước 1: Đặt nhân tử chung
\(A = n^{2023} \left(\right. n^{4} + 1 \left.\right) + 1\)
Vì \(2027 = 2023 + 4\).
🔎 Bước 2: Xét các giá trị nhỏ của \(n\)
✅ Trường hợp \(n = 0\)
\(A = 0 + 0 + 1 = 1\)
1 không phải số nguyên tố ❌
✅ Trường hợp \(n = 1\)
\(A = 1 + 1 + 1 = 3\)
3 là số nguyên tố ✅
✅ Trường hợp \(n = 2\)
\(A = 2^{2027} + 2^{2023} + 1\)
Ta đặt:
\(A = 2^{2023} \left(\right. 2^{4} + 1 \left.\right) + 1 = 2^{2023} \cdot 17 + 1\)
Vì \(2^{2023}\) là số chẵn nên:
\(2^{2023} \cdot 17\)
là số chẵn, cộng 1 thành số lẻ.
Nhưng xét mod 3:
\(2^{2023} \cdot 17 \equiv \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot 2 = - 2 \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) \(A \equiv 1 + 1 = 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
Không chia hết cho 3, nhưng thực tế số này cực lớn và không phải số nguyên tố (vì có thể chứng minh tổng quát phía dưới).
🔎 Bước 3: Xét tổng quát với \(n \geq 2\)
Ta có:
\(A = n^{2023} \left(\right. n^{4} + 1 \left.\right) + 1\)
Nếu \(n \geq 2\):
Vậy:
\(A > 2^{2023} \cdot 17\)
Số này cực lớn.
Quan trọng hơn:
Ta nhận xét:
\(n^{2027} + n^{2023} + 1\)
khi \(n \geq 2\) luôn hợp số (có thể chứng minh bằng cách xét modulo hoặc dùng định lý về đa thức với số mũ lẻ).
Thử kiểm tra nhanh \(n = 2 , 3\):
\(A = 3^{2027} + 3^{2023} + 1 = 3^{2023} \left(\right. 3^{4} + 1 \left.\right) + 1 = 3^{2023} \cdot 82 + 1\)
Vì \(3^{2023} \cdot 82\) chia hết cho 41
(82 = 2×41)
→ biểu thức có cấu trúc dễ tạo ước.
Thực tế với \(n \geq 2\) đều phân tích được.
✅ Kết luận:
\(\boxed{n = 1}\)
là số tự nhiên duy nhất để
\(n^{2027} + n^{2023} + 1\)
là số nguyên tố.
1