Cho a,b không âm và \(a^2+b^2=2\) . Tìm GTNN của \(P=\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 9 2017
A=\(\frac{4}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14\)
=\(\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+14\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{ab}\le1\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)(1)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=4\)(2)
Từ (1) và (2) =>A\(\ge\)2+3.4+14=28
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=\(\frac{1}{2}\)
TM
9 tháng 9 2017
A=\(\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14=\frac{1}{2ab}+\frac{3}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14=\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\)+14
Áp dụng bđt Cauchy Schawrz dạng Engel: \(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2ab+a^2+b^2}=\frac{2^2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\)(1)
Mặt khác áp dụng bđt Cô-si: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow1^2\ge4ab\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A=\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+14\ge2+3.4+14=28\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
4 tháng 6 2016
Ta có:
\(\frac{a}{b^2+1}=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\)
Nhận xét: a,b,c không âm nên theo BĐT Cô - si, ta có:
\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2.1}=2b\)
=> \(\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)
=> \(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
=> \(\frac{a}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự, ta cũng có:
\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Vậy ta suy ra
\(M=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ac}{2}\)
Mà a+b+c = 3 nên suy ra:
\(M\ge3-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2}\right)\)(1)
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
<=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge3ab+3ac+3bc\)
<=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(3^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(ab+ac+bc\le3\)
<=> \(\frac{ab+ac+bc}{2}\le\frac{3}{2}\)
<=> \(3-\frac{ab+ac+bc}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (2)
Từ 1 và 2 => \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1
N
11 tháng 9 2019
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
N
11 tháng 9 2019
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
13 tháng 9 2025
Mình sẽ trình bày chi tiết lời giải như khi viết vào vở, rõ ràng từng bước nhé:
Bài toán: Cho \(a , b , c \geq 0 , \textrm{ }\textrm{ } a + b + c = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(P = \frac{1}{a^{2} + \frac{\left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4}} + \frac{1}{b^{2} + \frac{\left(\right. c - a \left.\right)^{2}}{4}} + \frac{1}{c^{2} + \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{4}} .\)
Lời giải:
Xét hạng tử thứ nhất:
\(a^{2} + \frac{\left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4} = \frac{\left(\right. 2 a \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2}}{4} .\)
Nhận xét rằng:
\(\left(\right. 2 a \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} \leq \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} = 1^{2} = 1 ,\)
không đúng cho mọi \(a , b , c\). → Ta thử cách khác.
Cách 1: Thử giá trị đặc biệt
- Với \(a = b = c = \frac{1}{3}\):
\(P = \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} + \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} + \frac{1}{\left(\right. 1 / 3 \left.\right)^{2}} = 3 \cdot 9 = 27.\)
- Với \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right)\):
\(P = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{0^{2} + \left(\right. 0 - 1 \left.\right)^{2} / 4} + \frac{1}{0^{2} + \left(\right. 1 - 0 \left.\right)^{2} / 4} = 1 + 4 + 4 = 9.\)
Tương tự với \(\left(\right. 0 , 1 , 0 \left.\right)\) hoặc \(\left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\), đều có \(P = 9\).
Cách 2: Biện luận
Do \(a + b + c = 1\), giả sử \(a = 1 , b = c = 0\) thì \(P = 9\).
Nếu ba số dương và bằng nhau, \(P = 27 > 9\).
Dễ thấy khi các số phân bố đều, mẫu số nhỏ → giá trị lớn; còn khi dồn hết vào một biến, mẫu số lớn → giá trị nhỏ.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(P\) đạt tại biên, khi một biến bằng 1, hai biến còn lại bằng 0.
Kết luận:
Pmin=9
dấu bằng xảy ra khi \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right)\) hoặc hoán vị.
xin cái tickkkk=)
5 tháng 8 2019
Đề bài là tìm MaxB
Ta có \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\)
=> \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
=> \(B\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)=\frac{1}{2}\)
Do \(abc=1\)=> \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}=1\)
MaxB=1/2 khi x=y=z=1
Biểu thức cần tối thiểu hóa là:
P=a3−a2+b3−b2cap P equals the fraction with numerator a and denominator 3 minus a squared end-fraction plus the fraction with numerator b and denominator 3 minus b squared end-fraction𝑃=𝑎3−𝑎2+𝑏3−𝑏2Thay a2=2−b2a squared equals 2 minus b squared𝑎2=2−𝑏2 và b2=2−a2b squared equals 2 minus a squared𝑏2=2−𝑎2 vào mẫu số, ta có:
3−a2=3−(2−b2)=1+b23 minus a squared equals 3 minus open paren 2 minus b squared close paren equals 1 plus b squared3−𝑎2=3−(2−𝑏2)=1+𝑏2 3−b2=3−(2−a2)=1+a23 minus b squared equals 3 minus open paren 2 minus a squared close paren equals 1 plus a squared3−𝑏2=3−(2−𝑎2)=1+𝑎2Khi đó biểu thức Pcap P𝑃 trở thành:
P=a1+b2+b1+a2cap P equals the fraction with numerator a and denominator 1 plus b squared end-fraction plus the fraction with numerator b and denominator 1 plus a squared end-fraction𝑃=𝑎1+𝑏2+𝑏1+𝑎2 Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức phụ Xét hiệu giữa Pcap P𝑃 và 111:
P−1=a1+b2+b1+a2−1cap P minus 1 equals the fraction with numerator a and denominator 1 plus b squared end-fraction plus the fraction with numerator b and denominator 1 plus a squared end-fraction minus 1𝑃−1=𝑎1+𝑏2+𝑏1+𝑎2−1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp đánh giá trực tiếp với điều kiện a2+b2=2a squared plus b squared equals 2𝑎2+𝑏2=2. Ta nhận thấy tại điểm rơi a=b=1a equals b equals 1𝑎=𝑏=1 thì P=11+1+11+1=1cap P equals the fraction with numerator 1 and denominator 1 plus 1 end-fraction plus the fraction with numerator 1 and denominator 1 plus 1 end-fraction equals 1𝑃=11+1+11+1=1.
Ta sẽ chứng minh P≥1cap P is greater than or equal to 1𝑃≥1 bằng cách biến đổi:
a1+b2=a−ab21+b2≥a−ab22b=a−ab2the fraction with numerator a and denominator 1 plus b squared end-fraction equals a minus the fraction with numerator a b squared and denominator 1 plus b squared end-fraction is greater than or equal to a minus the fraction with numerator a b squared and denominator 2 b end-fraction equals a minus a b over 2 end-fraction𝑎1+𝑏2=𝑎−𝑎𝑏21+𝑏2≥𝑎−𝑎𝑏22𝑏=𝑎−𝑎𝑏2
Tương tự:
b1+a2≥b−ba2the fraction with numerator b and denominator 1 plus a squared end-fraction is greater than or equal to b minus b a over 2 end-fraction𝑏1+𝑎2≥𝑏−𝑏𝑎2
Cộng hai vế ta được:
P≥a+b−abcap P is greater than or equal to a plus b minus a b𝑃≥𝑎+𝑏−𝑎𝑏
Mặt khác, từ (a+b)2=a2+b2+2ab=2+2abopen paren a plus b close paren squared equals a squared plus b squared plus 2 a b equals 2 plus 2 a b(𝑎+𝑏)2=𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏=2+2𝑎𝑏, ta có ab=(a+b)2−22a b equals the fraction with numerator open paren a plus b close paren squared minus 2 and denominator 2 end-fraction𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)2−22.
Đặt t=a+bt equals a plus b𝑡=𝑎+𝑏. Vì a2+b2=2a squared plus b squared equals 2𝑎2+𝑏2=2 nên 2≤t≤2the square root of 2 end-root is less than or equal to t is less than or equal to 22√≤𝑡≤2.
Khi đó P≥t−t2−22=−t2+2t+22cap P is greater than or equal to t minus the fraction with numerator t squared minus 2 and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator negative t squared plus 2 t plus 2 and denominator 2 end-fraction𝑃≥𝑡−𝑡2−22=−𝑡2+2𝑡+22.
Hàm số f(t)=−t2+2t+22f of t equals the fraction with numerator negative t squared plus 2 t plus 2 and denominator 2 end-fraction𝑓(𝑡)=−𝑡2+2𝑡+22có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2,2]open bracket the square root of 2 end-root comma 2 close bracket[2√,2]tại các đầu mút.
- Tại t=2t equals 2𝑡=2 (tương ứng a=b=1a equals b equals 1𝑎=𝑏=1), f(2)=1f of 2 equals 1𝑓(2)=1.
- Tại t=2t equals the square root of 2 end-root𝑡=2√(tương ứng một số bằng 0), f(2)=2≈1,414>1f of open paren the square root of 2 end-root close paren equals the square root of 2 end-root is approximately equal to 1 comma 414 is greater than 1𝑓(2√)=2√≈1,414>1.
Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của Pcap P𝑃 là 1 khi a=b=1a equals b equals 1𝑎=𝑏=1.rất cảm ơn ý kiến của chị nhưng em có góp ý là cách đó dài và không phù hợp với kiến thức lớp 9