1) Xét tam giác ABE và tam giác DBE có:

+ BM chung.

+ AB = DB (gt).

+ ^ABE = ^DBE (do BE là phân giác ^ABD).

=> Tam giác ABE = Tam giác DBE (c - g - c).

2) Xét tam giác ABD có: BA = BD (Tam giác ABE = Tam giác DBE).

=> Tam giác ABD cân tại B.

Mà BE là phân giác ^ABD (gt).

=> BE là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

Lại có: BE cắt AD tại M (gt).

=> BE vuông góc AD tại M (đpcm).

3) Xét tam giác FBC có: 

+ BN là trung tuyến (do N là trung điểm của CF).

+ BN là phân giác của ^FBC (do BE là phân giác ^ABD).

=> Tam giác FBC cân tại B.

=> BN là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

=> BN vuông góc FC. (1)

Vì tam giác FBC cân tại B (cmt). => ^BCF = (180^o - ^DBA) : 2.

Vì tam giác ABD cân tại B (cmt). => ^BDA = (180^o - ^DBA) : 2.

=> ^BCF = ^BDA.

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

=> AD // FC (dhnb).

Mà BE vuông góc với AD tại M (cmt).

=> BE vuông góc FC. (2)

Từ (1) và (2) => 3 điểm B, E, N thẳng hàng (đpcm). 

Bài 1: 

a: Xét ΔABE và ΔDBE có

BA=BD

\(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\)

BE chung

Do đó: ΔABE=ΔDBE

a: Xét ΔBEA và ΔBEC có

BE chung

EA=EC

BA=BC

=>ΔBEA=ΔBEC

b: góc DBE=góc EBC

góc DEB=góc EBC

=>góc DBE=góc DEB

=>ΔDBE cân tại D

Xét ΔABC có

E là trung điểm của AC

ED//BC

=>D là trung điểm của AB

c: Xét tứ giác KBEA có

D là trung điểm chung của KE và BA

góc BEA=90 độ

=>KBEA là hcn

=>KB vuông góc BE

hack não

hack não

Xét ΔABE vuông tại A và ΔDBE vuông tại D có

BE chung

góc ABE=góc DBE

Do đó: ΔABE=ΔDBE

                                                                                      Giải

a, Vì ED \(\perp\)BC ( gt ) \(\Rightarrow\)\(\Delta\)DBE là tam giác vuông tại D

Xét \(\Delta\) vuông ABE và \(\Delta\)vuông DBE, có :

BE : cạnh chung 

góc ABE = góc DBE ( BE là tpg góc ABC ) 

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)vuông ABE = \(\Delta\) vuông DBE ( cạnh huyền góc nhọn )

b, Vì \(\Delta\) ABE = \(\Delta\)DBE ( cmt )

\(\Rightarrow\)BA = BD ( 2 cạnh tương ứng ) \(\Rightarrow\)B nằm trên đtt của AD ( đ/l đảo )

          AE = DE ( 2 cạnh tương ứng )\(\Rightarrow\) E nằm trên đtt của AD ( đ/l đảo )

Từ 2 điều trên \(\Rightarrow\) BE là đtt của đoạn thẳng AD 

c, +, ta có : \(\Delta\)BAD cân tại B ( BA = BD )

\(\Rightarrow\)góc BAD = góc BDA ( t/c )

Vì AH \(\perp\) BC tại H ( gt ) \(\Rightarrow\) \(\Delta\) HAD vuông tại H 

Xét \(\Delta\)vuông HAD, có :

góc HAD + góc HDA ( hay góc BDA ) = 90^o ( 2 góc phụ nhau )

Xét \(\Delta\) vuông ABC, có :

góc CAD + góc BAD = 90^o ( 2 góc phụ nhau )

Mà góc BDA = góc BAD ( cmt )

Từ các điều trên \(\Rightarrow\)góc HAD = góc CAD    (1)

Mà tia AD nằm giữa 2 tia AH, AC ( cách vẽ )    (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) AD là tpg của góc HAC ( đpcm )

a: Xét ΔABE và ΔDBE có

BA=BD

\(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\)

BE chung

Do đó: ΔABE=ΔDBE

Suy ra: \(\widehat{BAE}=\widehat{BDE}=90^0\)

b: Xét ΔAEF vuông tại A và ΔDEC vuông tại D có

EA=ED

\(\widehat{AEF}=\widehat{DEC}\)

Do đó: ΔAEF=ΔDEC

c: Xét ΔEFC có EF=EC

nên ΔEFC cân tại E

d: Ta có: ΔAEF=ΔDEC

nên AF=DC

Ta có: BA+AF=BF

BD+DC=BC

mà BA=BD

và AF=DC

nên BF=BC

hay B nằm trên đường trung trực của CF(1)

Ta có: EF=EC

nên E nằm trên đường trung trực của CF(2)

Ta có: NF=NC

nên N nằm trên đường trung trực của CF(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra B,E,N thẳng hàng

a: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBDE vuông tại D có

BE chung

BA=BD

=>ΔBAE=ΔBDE

b; BA=BD

EA=ED

=>BE là trung trực của AD

a: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBDE vuông tại D có

BE chung

BA=BD

=>ΔBAE=ΔBDE

=>ED=EA

mà EA<EF

nên ED<EF

b: Xét ΔEAF vuông tại A và ΔEDC vuông tại D có

EA=ED
góc AEF=góc DEC

=>ΔEAF=ΔEDC

=>EF=EC

=>ΔEFC cân tại E

c: BA+AF=BF

BD+DC=BC

mà BA=BD và AF=DC

nên BF=BC

=>ΔBFC cân tại B

mà BM là trung tuyến

nên BM là phân giác của góc FBC

=>B,E,M thẳng hàng