a: Xét ΔIPA vuông tại P và ΔIPD vuông tại P có

IP chung

PA=PD

Do đó: ΔIPA=ΔIPD

=>IA=ID

Xét ΔIQB vuông tại Q và ΔIQC vuông tại Q có

IQ chung

QB=QC

Do đó: ΔIQB=ΔIQC

=>IB=IC

Xét ΔAIB và ΔDIC có

AI=DI

AB=DC

IB=IC

Do đó: ΔAIB=ΔDIC

b: ΔAIB=ΔDIC

=>\(\hat{IAB}=\hat{IDC}\)

mà \(\hat{IDC}=\hat{IAD}\)

nên \(\hat{IAB}=\hat{IAD}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

b: Ta có: PN và PQ là hai tia đối nhau

=>P nằm giữa N và Q

=>tia MP nằm giữa hai tia MN và MQ

=>\(\hat{NMQ}=\hat{NMP}+\hat{PMQ}>\hat{NMP}>90^0\)

=>ΔNMQ là tam giác tù

a: Ta có:DQ là phân giác của \(\hat{ADC}\)

=>\(\hat{ADQ}=\hat{CDQ}=\frac12\cdot\hat{ADC}\)

AP là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAP}=\hat{DAP}=\frac12\cdot\hat{BAD}\)

Ta có: BP là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABP}=\hat{CBP}=\frac12\cdot\hat{ABC}\)

\(\hat{PAB}+\hat{PBA}=\frac12\left(\hat{BAD}+\hat{ABC}\right)=\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>PA⊥PB

\(\hat{QAD}+\hat{QDA}=\frac12\cdot\left(\hat{BAD}+\hat{ADC}\right)=\frac12\cdot180^0=90^0\)

=>ΔQAD vuông tại Q

=>QA⊥QD

=>QD⊥PA

mà PA⊥PB

nên QD//PB

a) Xét \(\Delta MNK\left(\widehat{M}=90^o\right)\) và \(\Delta QNK\left(\widehat{Q}=90^o\right)\) có:

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\) (giả thiết)

\(NK\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta MNK=\Delta QNK\left(ch.gn\right)\)

b) Vì \(\Delta MNK=\Delta QNK\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MN=QN\) (\(2\) cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta MNQ\) cân tại \(N\)

Mà \(\widehat{MNQ}=60^o\)

\(\Rightarrow\Delta MNQ\) đều

Vì \(NK\) là tia phân giác \(\widehat{MNP}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\widehat{MNK}=\widehat{QNK}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o=\widehat{NPK}\)

\(\Rightarrow\Delta NKP\) cân tại \(K\)

c) Vì \(\Delta NMQ\) đều (chứng minh trên)

\(\Rightarrow NM=MQ=NQ=8cm\)

Xét \(\Delta NMP\left(\widehat{M}=90^o\right)\) có:

\(PN=2MN=2.8=16cm\)

\(\Rightarrow PQ=16-8=8cm\)

a: Xét ΔMNK vuông tại M và ΔQNK vuông tại Q có

NK chung

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\)

Do đó: ΔMNK=ΔQNK

b: Ta có: ΔMNK=ΔQNK

nên NM=NQ

=>ΔNMQ cân tại N

mà \(\widehat{MNQ}=60^0\)

nên ΔMNQ đều

Xét ΔNKQ có 

\(\widehat{KPN}=\widehat{KNP}\)

nên ΔNKQ cân tại K

c: Xét ΔMNP vuông tại M có 

\(\cos N=\dfrac{MN}{NP}\)

=>NP=16(cm)

=>\(MP=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)

a: Xét ΔNKM vuông tại K và ΔNKQ vuông tại K có

NK chung

\(\widehat{MNK}=\widehat{QNK}\)

Do đó: ΔNKM=ΔNKQ

b: Ta có: \(\widehat{KPM}=\widehat{KMN}\left(=90^0-\widehat{KMP}\right)\)

\(\widehat{KPM}< \widehat{KNM}\)

Do đó: \(\widehat{KMN}< \widehat{KNM}\)

Xét ΔKMN có \(\widehat{KMN}< \widehat{KNM}\)

mà KN,KM lần lượt là cạnh đối diện của các góc KMN,KNM

nên KN<KM

a: Xét ΔMNQ va ΔQBM có

góc QMN=goc MQB

QM chung

góc MQN=góc QMB

=>ΔMNQ=ΔQBM

b: Xét tứ giác MNQB có

MN//QB

MB//NQ

=>MNQB là hình bình hành

=>NQ=MB=AM

c: Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

MN//BC

=>N là trug điểm của AC

hog phải, ở tứ giác mình nối MQ lại để thành t giác, phù hợp với câu hỏi đề bài

Lời giải :

Để \(MPNQ\) là hình chữ nhật thì \(MN=PQ\)

Ta có : \(AM=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC=BN\) , \(AM\) song song với BN \(\Rightarrow AMNB\) là hình bình hành \(\Rightarrow AB=MN\Rightarrow MN=CD\) 

Ta lại có : \(AP=PQ=QC\) ( cmt ) \(\Rightarrow PQ=\dfrac{1}{3}AC\)

\(\Rightarrow CD=MN=PQ=\dfrac{1}{3}AC\)

\(\dfrac{CA}{CD}=3\) thì MPNQ là hình chữ nhật

làm phần a hộ đko ạ

a) Xét tứ giác AHMQ có

\(\widehat{AHM}\) và \(\widehat{AQM}\) là hai góc đối

\(\widehat{AHM}+\widehat{AQM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AHMQ là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

nên A,H,M,Q cùng nằm trên một đường tròn(đpcm)

b) Ta có: AHMQ là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{QAH}+\widehat{QMH}=180^0\)(Định lí tứ giác nội tiếp)

\(\Leftrightarrow\widehat{QAB}+\widehat{QMN}=180^0\)

mà \(\widehat{QAB}+\widehat{NAB}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{QMN}=\widehat{NAB}\)(1)

Xét (O) có

\(\widehat{NAB}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{NB}\)

\(\widehat{BMN}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{NB}\)

Do đó: \(\widehat{NAB}=\widehat{BMN}\)(Hệ quả góc nội tiếp)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{QMN}=\widehat{BMN}\)

mà tia MN nằm giữa hai tia MQ và MB

nên MN là tia phân giác của \(\widehat{QMB}\)(đpcm)