cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a^2+b^2/4+1/a^2=4. tìm GTLN của biểu thức Q=ab+2023
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 8 2016
Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
TN
15 tháng 8 2016
đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
21 tháng 4 2019
Đặt \(A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\ge d\)=>\(a^2\ge b^2\ge c^2\ge d^2\)
=>\(\frac{1}{a^2}\le\frac{1}{b^2}\le\frac{1}{c^2}\le\frac{1}{d^2}\)
=>\(A\le\frac{4}{d^2}\)=>\(d^2\le4\)=>\(d\in\text{ }\text{{}\pm1,\pm2\text{ }\)
Xét \(d=\pm1\)=> vô lí
Xét d=\(\pm\)2=> a=b=c=d=\(\pm\)2
=> M=ab+cd=4+4=8
hơi khó nha mn
Bước 1: Biến đổi điều kiện
\(\frac{b^{2}}{4} = 4 - 2 a^{2} - \frac{1}{a^{2}} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{2} = 16 - 8 a^{2} - \frac{4}{a^{2}}\) \(b = \pm \sqrt{16 - 8 a^{2} - \frac{4}{a^{2}}}\) \(Q = a b + 2023 = a \cdot \sqrt{16 - 8 a^{2} - \frac{4}{a^{2}}} + 2023\)
Bước 2: Đặt \(f \left(\right. a \left.\right) = 16 - 8 a^{2} - \frac{4}{a^{2}}\), cần \(f \left(\right. a \left.\right) \geq 0\)
\(8 a^{2} + \frac{4}{a^{2}} \leq 16 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 a^{2} + \frac{1}{a^{2}} \leq 4\) \(2 a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 t + \frac{1}{t} = 4 , t = a^{2}\) \(2 t^{2} - 4 t + 1 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(a^{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Bước 3: Tìm \(b^{2}\) theo \(a^{2}\)
\(8 a^{2} = 8 + 4 \sqrt{2} , \frac{4}{a^{2}} = 8 - 4 \sqrt{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{2} = 16 - 16 = 0\)
\(8 a^{2} = 8 - 4 \sqrt{2} , \frac{4}{a^{2}} = 8 + 4 \sqrt{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{2} = 16 - 16 = 0\)
Bước 4: Kết luận
Qmax=2023\boxed{Q_{\max} = 2023}Qmax=2023