https://olm.vn/hoi-dap/detail/4762440095.html

Ta có: p4 – q4 = (p4 – 1 ) – (q4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p4 – 1   240

- Do p >5 nên p là số lẻ                                                                              

+ Mặt khác: p4 –1  = (p –1) (p + 1) (p2 +1)                                                 

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp  => (p – 1) (p+1)  8                   

+ Do p là số lẻ nên p2  là số lẻ ->  p2 +1  2                                                 

- p > 5 nên p có dạng:

   + p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k   3  --> p4 – 1  3 

   + p = 3k + 2 -->  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3  3  -->  p4 – 1  3             

- Mặt khác, p có thể là dạng:

+ P =  5k +1 --> p – 1  = 5k + 1 – 1  = 5k    5   --> p4 – 1    5

+ p = 5 k+ 2 --> p2 + 1 = (5k +2)2  +1  = 25k2  + 20k +5  5 --> p4 – 1  5  

+ p = 5k +3 --> p2 +1 = 25k2 + 30k +10 --> p4 –1  5

+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5  5 --> p4 – 1  5                                            

Vậy p4 – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p4 – 1  240

Tương tự ta cũng có q4 – 1  240                                                                   

Vậy: (p4 – 1) – (q4 –1)  = p4 – q4    240

chúc bạn học tốt :)

Đoạn p,q là p mũ 4 và q mũ 4 nha
 

em mớ lớp 5 nên không biết

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó

1

gọi số cần tìm là p.dễ thấy p lẻ

=>p=a+2 và p=b-2

=>a=p-2 và b=p+2

vì p-2,p,p+2 là 3 số lẻ liên tiếp nên có một số chia hết cho 3

với p-2=3=>p=5=7-2(chọn)

p=3=>p=1+2(loại)

p+2=3=>p=1(loại)

vậy p=5

2

vì p1, p2, p3 là 3 số nguyên tố (SNT) > 3 
theo giả thiết: 
p3 = p2 + d = p1 + 2d (*) 
=> d = p3 - p2 là số chẵn ( vì p3, p2 lẻ) 
đặt d = 2m, xét các trường hợp: 
* m = 3k => d chia hết cho 6 
* m = 3k + 1: khi đó 3 số là: 
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 2 
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 4 
do p1 là SNT > 3 nên p1 chia 3 dư 1 hoặc 2 
nếu p1 chia 3 dư 1 => p2 = p1 + 6k + 2 chia hết cho 3 => p2 là hợp số (không thỏa gt) 
nếu p1 chia 3 dư 2 => p3 = p1 + 12k + 4 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (---nt--) 
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 1 
* m = 3k + 2, khi đó 3 số là: 
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 4 
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 8 
nếu p1 chia 3 dư 1 => p3 = p1 + 12k + 8 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (không thỏa gt) 
nếu p 1 chia 3 dư 2 => p2 = p1 + 6k + 4 chia hết cho 3 => p2 là hợp số ( không thỏa gt) 
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 2 
vậy để p1, p 2, p 3 đồng thời là 3 SNT thì m = 3k => d = 2m = 6k chia hết cho 6.

3

ta có p,p+1,p+2 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.

mà p,p+2 là SNT >3 nên p,p+2 ko chia hết cho 3 và là số lẻ

=>p+1 chia hết cho 3 và p+1 chẵn=>p+1 chia hết cho 6

4

vì p là SNT >3=>p=3k+1 hoặc p=3k+2

với p=3k+1=>p+8=3k+9 chia hết cho 3

với p=3k+2=>p+4=3k+6 ko phải là SNT

vậy p+8 là hợp số

5

vì 8p-1 là SNt nên p>3=>8p ko chia hết cho 3

vì 8p,8p+1,8p-1 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.mà 8p,8p-1 là SNT >3=>8p+1 chia hết cho 3 và 8p+1>3

=>8p+1 là hợp số

6.

Ta có: Xét:

+n=0=>n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15(hợp số,loại)

+n=1

=>n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16(hợp số,loại)

+n=2

=>n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17(hợp số,loại)

+n=3

=>n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18(hợp số,loại)

+n=4

n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19(SNT,chọn)

Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3

+n=4k+1

⇔n+3=4k+1+3=4k+4⇔n+3=4k+1+3=4k+4(hợp số,loại)

+n=4k+2

=>n+13=4k+2+13=4k+15n+13=4k+2+13=4k+15(hợp số,loại)

+n=4k+3

=>n+3=4k+3+3=4k+6n+3=4k+3+3=4k+6(hợp số,loại)

⇔n=4

4.vì p là số nguyên tố >3

nên p có dạng 3k+1;3k+2

xét p=3k+1 ta có :p+4=(3k+1)+4=3k+5(thỏa mãn)

xét p=3k+2 ta có: p+4=(3k+2)+4=3k+6 chia hết cho 3(trái với đề bài)

vậy p+8=(3k+1)+8=3k+9 chia hết cho 3

Vậy p+8 là hợp số

Vì p,q là 2 SNT >5

Suy ra p,q là số lẻ

Suy ra p,q chia hết cho 2

Suy ra p^4,q^4 chia hết cho 4

Suy ra p^4+2019q^4 chia hết cho 4 (1)

Mặt khác: Xét 5 TH 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4

Suy ra p^4+2019q^4 chia hết cho 5 (2)

Mà (5;4)=1 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm

cảm ơn bn nhiều nha nhưng cách này mk làm r mk cần cách khac nhanh hơn

Lời giải:

$A=p^4+2019q^4=p^4-q^4+2020q^4$

$=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4$
Vì $p,q$ là số nguyên tố lớn hơn 5 nên $(p,5)=(q,5)=1$

$\Rightarrow p^2,q^2\equiv 1,4\pmod 5$

Nếu $p^2\equiv q^2\pmod 5$ thì $p^2-q^2\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A=(p^2-q^2)+2020q^4\equiv 0 \pmod 5(1)$

Nếu $p^2,q^2$ không cùng số dư khi chia cho $5$ thì:

$p^2+q^2\equiv 1+4\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A\equiv 0\pmod 5(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow A\vdots 5(*)$

Mặt khác:

Vì $p,q>5$ nên $p,q$ lẻ

$\Rightarrow p^2\equiv q^2\equiv 1\pmod 4$

$\Rightarrow p^2-q^2\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A\vdots 4(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots (4.5=20)$

Akai Haruma!(mod 5) và (mod 4) là j vậy 

3)                         CM:p+1 chia hết cho 2

vì p lớn hơn 3 suy ra p là số lẻ và p+1 là số chẵn.

Vậy p+1 chia hết cho 2

                             CM:p+1 chia hết cho 3

Ta có:p x (p+1) x (p+2) chia hết cho 3(vì tích 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 3)

Mà p và p+2 là số nguyên tố nên p và p+2 ko chia hết cho 3

Vậy p+1 chia hết cho 3

Mà ƯCLN(2,3) là 1

Vậy p+1 chia hết cho 2x3 là 6

Vậy p+1 chia hết cho 6 với mọi p lớn hơn 3 và p+2 cùng là số nguyên tố.