Ta có: \(A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}\)

\(=2\left(1+2+2^2+\cdots+2^{999}\right)\) ⋮2

Ta có: \(A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+\cdots+\left(2^{999}+2^{1000}\right)\)

\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+\cdots+2^{999}\left(1+2\right)\)

\(=3\left(2+2^3+\cdots+2^{999}\right)\) ⋮3

Ta có: \(A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+\cdots+\left(2^{997}+2^{998}+2^{999}+2^{1000}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+\cdots+2^{997}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(=15\left(2+2^5+\cdots+2^{997}\right)\) ⋮15

mà 15⋮5

nên A⋮5

Ta có:

\(A = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \hdots + 2^{1000} .\)

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu \(a = 2\) và công bội \(r = 2\). Tổng \(n\) số hạng là:

\(S_{n} = a \frac{r^{n} - 1}{r - 1} .\)

Ở đây \(n = 1000\), \(a = 2\), \(r = 2\), nên:

\(A = 2 \cdot \frac{2^{1000} - 1}{2 - 1} = 2 \cdot \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right) = 2^{1001} - 2.\)

Vậy:

\(A = 2^{1001} - 2\)

1. Chia hết cho 2

\(A = 2^{1001} - 2 = 2 \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right)\)

Rõ ràng chia hết cho 2 ✅

2. Chia hết cho 3

Ta dùng định lý Fermat nhỏ: \(2^{2} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\) hoặc thử pattern modulo 3:

• \(2^{1} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
• \(2^{2} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
• \(2^{3} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)

Pattern lặp: 2,1,2,1,...

Tổng \(A = 2 + 1 + 2 + 1 + . . .\) lặp 1000 lần. Nhưng tiện hơn:

\(A = 2 \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right)\) \(2^{1000} \equiv \left(\right. 2^{2} \left.\right)^{500} \equiv 1^{500} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\) \(2^{1000} - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 ✅\)

3. Chia hết cho 5

Xét modulo 5, ta biết pattern \(2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\) là:

\(2^{1} = 2 , \&\text{nbsp}; 2^{2} = 4 , \&\text{nbsp}; 2^{3} = 3 , \&\text{nbsp}; 2^{4} = 1 , \&\text{nbsp}; 2^{5} = 2 , . . .\)

Chu kỳ 4: \(2 , 4 , 3 , 1\).

\(2^{1000} \equiv 2^{\left(\right. 4 \cdot 250 \left.\right)} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\) \(2^{1000} - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 ✅\)

4. Chia hết cho 14

14 = 2 × 7.

• Đã chia hết cho 2 ✅
• Kiểm tra modulo 7: Chu kỳ \(2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\) là: 2,4,1,... (chu kỳ 3)

\(2^{1} \equiv 2 , \&\text{nbsp}; 2^{2} \equiv 4 , \&\text{nbsp}; 2^{3} \equiv 1 , \&\text{nbsp}; 2^{4} \equiv 2 , . . .\)

Chia 1000 cho 3: 1000 = 3×333 + 1 → \(2^{1000} \equiv 2^{1} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)

\(2^{1000} - 1 \equiv 2 - 1 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)

Nhưng A = 2*(2^{1000}-1) → \(2 * 1 = 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\) ❌ Không chia hết cho 7, nên không chia hết cho 14.

5. Chia hết cho 15

15 = 3 × 5.

• Đã chia hết cho 3 ✅
• Đã chia hết cho 5 ✅
  → Chia hết cho 15 ✅

✅ Kết luận:

• Chia hết: 2, 3, 5, 15
• Không chia hết: 14