Gọi \(R\) là phép quay tâm \(A\) góc \(90^{\circ}\) theo chiều dương. Vì tam giác \(A B D\) và \(A C E\) vuông cân ở \(A\) nên

\(R \left(\right. B \left.\right) = D , R \left(\right. C \left.\right) = E .\)

Với \(M , N , P\) là trung điểm của \(B D , C E , B C\) tương ứng ta có

\(\overset{\rightarrow}{P M} = \frac{R \left(\right. B \left.\right) - C}{2} , \overset{\rightarrow}{P N} = \frac{R \left(\right. C \left.\right) - B}{2} .\)

Do tính chất phép quay \(R\) (quay \(90^{\circ}\) giữ độ dài và biến một vectơ thành vectơ vuông góc), ta có

\(\overset{\rightarrow}{P N} = - \textrm{ } R \left(\right. \overset{\rightarrow}{P M} \left.\right) .\)

Từ đó \(\mid \overset{\rightarrow}{P M} \mid = \mid \overset{\rightarrow}{P N} \mid\) và \(\overset{\rightarrow}{P M} \bot \overset{\rightarrow}{P N}\). Vậy tam giác \(P M N\) là tam giác vuông cân.

Gọi A là gốc, đặt vectơ AB = b, vectơ AC = c
Vì ABD vuông cân tại A nên AD là ảnh của AB qua phép quay 90°, vì ACE vuông cân tại A và vẽ ra ngoài nên AE là ảnh của AC qua phép quay 90° ngược chiều với AD
M là trung điểm BD nên vectơ AM = (b + AD)/2
N là trung điểm CE nên vectơ AN = (c + AE)/2
P là trung điểm BC nên vectơ AP = (b + c)/2
Suy ra vectơ PM = vectơ AM - vectơ AP = (AD - c)/2
vectơ PN = vectơ AN - vectơ AP = (AE - b)/2
Do AD và AE là hai vectơ quay vuông góc tương ứng từ AB và AC nên PM vuông góc PN và PM = PN
Vậy tam giác PMN vuông cân tại P, vì có hai cạnh PM, PN bằng nhau và vuông góc với nhau.