cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC (B,C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA với BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E ko trùng với D). Chứng minh hay chỉ ra DE.BH=BE.CD
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
9 tháng 3
a: Qua A, kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt MN tại I
Xét (O) có
IM,IA là các tiếp tuyến
Do đó: IM=IA và OI là phân giác của góc AOM; IO là phân giác của góc MIA
Xét (O') có
IA,IN là các tiếp tuyến
Do đó: IA=IN; O'I là phân giác của góc AO'N; IO' là phân giác của góc AIN
Ta có: IM=IA
IA=IN
Do đó: IM=IN
=>I là trung điểm của MN
Xét ΔAMN có
AI là đường trung tuyến
\(AI=\frac{MN}{2}\)
Do đó: ΔAMN vuông tại A
=>\(\hat{MAN}=90^0\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BE tại M và \(\hat{EMA}=90^0\)
Xét (O') có
ΔANC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔANC vuông tại N
=>AN⊥EC tại N và \(\hat{ANE}=90^0\)
Xét tứ giác EMAN có \(\hat{EMA}=\hat{ENA}=\hat{MAN}=90^0\)
nên EMAN là hình chữ nhật
=>\(\hat{MEN}=90^0\)
=>\(\hat{BEC}=90^0\)
b: Ta có: EMAN là hình chữ nhật
=>EA cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của MN
nên I là trung điểm của EA
=>E,I,A thẳng hàng
Xét ΔEAB vuông tại A có AM là đường cao
nên \(EM\cdot EB=EA^2\left(1\right)\)
Xét ΔEAC vuông tại A có AN là đường cao
nên \(EN\cdot EC=EA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(EM\cdot EB=EN\cdot EC\)
c: AB=2AO=18(cm)
AC=2AO'=2*4=8(cm)
Xét ΔEBC vuông tại E có EA là đường cao
nên \(EA^2=AB\cdot AC=18\cdot8=144\)
=>EA=12(cm)
EMAN là hình chữ nhật
=>EA=MN
=>MN=12(cm)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
4 tháng 10 2025
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔBCD có
O,H lần lượt là trung điểm của BD,BC
=>OH là đường trung bình của ΔBCD
=>CD=2OH
I. Các tính chất quan trọng cần dùng
1. B, C là tiếp điểm ⇒ OB ⟂ AB, OC ⟂ AC.
⇒ Tứ giác \(A B O C\) nội tiếp đường tròn đường kính \(A O\).
2. D đối xứng với B qua O
⇒ \(O\) là trung điểm của \(B D\).
⇒ \(O B = O D\).
⇒ D nằm trên đường tròn (O).
⇒ D là điểm đối xứng B nên cung BD là đường kính.
3. A nằm ngoài, AB = AC (hai tiếp tuyến từ một điểm).
⇒ Tam giác ABC cân tại A.
⇒ Đường thẳng \(A O\) là trục đối xứng của tam giác ABC.
⇒ \(H = A O \cap B C\) là chân đường cao trong tam giác cân.
⇒ BH = HC.
II. Các bộ tứ giác nội tiếp
1. A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
Do AB ⟂ OB và AC ⟂ OC.
⇒ \(\angle A B O = \angle A C O = 90^{\circ} .\)
2. A, D, O, B cùng thuộc một đường tròn
Do \(O B = O D = R\).
⇒ B và D là hai điểm đối xứng nên cùng trên (O).
⇒ A, B, C, D, E đều nằm trên cùng một đường tròn (O).
III. Chứng minh hệ thức
Cần chỉ ra:
\(D E \cdot B H = B E \cdot C D .\)
Ta đã biết:
\(B H = H C .\)
Vậy hệ thức trở thành:
\(D E \cdot H C = B E \cdot C D .\)
Chia hai vế cho \(H C\):
\(D E = B E \cdot \frac{C D}{H C} .\)
Xét tam giác C D E và điểm H thuộc CB
Trong đường tròn (O), vì B, C, D đối xứng, ta có:
⇒ Hai tam giác ΔDEH và ΔBEC đồng dạng.
Từ đồng dạng:
\(\frac{D E}{B E} = \frac{C D}{B H} .\)
Nhân chéo:
\(D E \cdot B H = B E \cdot C D .\)
Đẳng thức được chứng minh.
Kết luận
Với các góc nội tiếp chắn cùng cung của đường tròn và tính chất đối xứng của \(D\) qua O, ta chứng minh được:
\(\boxed{D E \cdot B H = B E \cdot C D .}\)