A = 1+ 3 + 3\(^2\) + ... + 3\(^{98}\) + 3\(^{99}\)

A = 3\(^0\) + 3\(^1\) + 3\(^2\) + ... + 3\(^{98}\) + 3\(^{99}\)

Xét dãy số: 0; 1; 2;...;98; 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (99 - 0) : 1 + 1 = 100 (số)

Vì 100 : 2 = 50

Vậy nhóm hai số liên tiếp của A vào nhau khi đó:

A = (1+ 3) +(3\(^2\) + 3\(^3\)) + .. + (3\(^{98}\) + 3\(^{99}\))

A = (1+ 3) + 3\(^2\)(1+ 3) + ..+ 3\(^{98}\).(1 + 3)

A = (1 + 3).(1 + 3\(^2\) + ... + 3\(^{98}\))

A = 4.(1+ 3\(^2\) + .. + 3\(^{98}\))

A ⋮ 4(đpcm)

Đề bài: Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁹⁸ + 3⁹⁹. Chứng minh A chia hết cho 4.

Phân tích bài toán

Để chứng minh tổng A chia hết cho 4, chúng ta cần biến đổi tổng A thành một dạng biểu thức mới mà trong đó xuất hiện thừa số 4. Phương pháp phổ biến và phù hợp nhất với kiến thức lớp 6 là "nhóm các số hạng" lại với nhau để tạo ra thừa số chung.

Bài giải chi tiết

Ta có biểu thức:
A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3⁹⁸ + 3⁹⁹

Bước 1: Đếm số các số hạng của tổng A

Tổng A có các số hạng với số mũ của 3 chạy từ 0 (vì 3⁰ = 1) đến 99.
Số các số hạng của A là: (99 - 0) + 1 = 100 (số hạng).

Bước 2: Nhóm các số hạng

Vì 100 là số chẵn (chia hết cho 2), ta có thể nhóm các số hạng thành từng cặp 2 số hạng liền kề nhau.
A = (1 + 3) + (3² + 3³) + ... + (3⁹⁸ + 3⁹⁹)

Bước 3: Đặt thừa số chung cho từng nhóm

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của từng nhóm và đặt thừa số chung ra ngoài.

• Nhóm 1: (1 + 3) = 4
• Nhóm 2: (3² + 3³) = 3² × (1 + 3) = 3² × 4
• Nhóm 3: (3⁴ + 3⁵) = 3⁴ × (1 + 3) = 3⁴ × 4
• ...
• Nhóm cuối cùng: (3⁹⁸ + 3⁹⁹) = 3⁹⁸ × (1 + 3) = 3⁹⁸ × 4

Bước 4: Viết lại biểu thức A

Sau khi đặt thừa số chung cho từng nhóm, biểu thức A được viết lại như sau:
A = 4 + 3² × 4 + 3⁴ × 4 + ... + 3⁹⁸ × 4

Bước 5: Đặt thừa số chung là 4 cho toàn bộ biểu thức

Ta thấy tất cả các số hạng trong tổng mới đều có chung một thừa số là 4. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta đặt 4 ra làm thừa số chung:
A = 4 × (1 + 3² + 3⁴ + ... + 3⁹⁸)

Bước 6: Kết luận

Vì A được viết dưới dạng tích của 4 với một số tự nhiên (1 + 3² + 3⁴ + ... + 3⁹⁸), nên A chắc chắn chia hết cho 4.

Vậy, A chia hết cho 4 (điều phải chứng minh).

Lời khuyên

• Nhận dạng bài toán: Khi gặp một bài toán chứng minh một tổng các lũy thừa chia hết cho một số nào đó, phương pháp đầu tiên bạn nên nghĩ đến là nhóm các số hạng.
• Cách nhóm: Hãy thử nhóm 2, 3, hoặc 4 số hạng lại với nhau và tính tổng của nhóm nhỏ đó. Nếu tổng này chia hết cho số cần chứng minh, bạn đã đi đúng hướng.
• Sử dụng tính chất chia hết: Luôn nhớ rằng nếu tất cả các số hạng trong một tổng đều chia hết cho một số thì cả tổng đó cũng chia hết cho số đó.Đây là chìa khóa để giải quyết dạng bài này.