cần gấp

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

a:Sửa đề: ABCD là hình thang cân

Xét ΔDAB có

M,N lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>MN là đường trung bình của ΔDAB

=>MN//AB và \(MN=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔBDC có

N,Q lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>NQ là đường trung bình của ΔBDC

=>NQ//DC và \(NQ=\frac{DC}{2}\)

NQ//DC

DC//AB

Do đó: NQ//AB

Xét ΔCAB có

P,Q lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>PQ là đường trung bình của ΔCAB

=>PQ//AB và \(PQ=\frac{AB}{2}\)

PQ//AB

QN//AB

mà PQ,QN có điểm chung là Q

nên P,Q,N thẳng hàng(1)

MN//AB

NQ//AB

mà MN,NQ có điểm chung là N

nên M,N,Q thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra P,Q,N,M thẳng hàng

b: ABCD là hình thang cân

=>AC=BD

mà \(AP=PC=\frac{AC}{2};BN=ND=\frac{BD}{2}\)

nên AP=PC=BN=ND

Xét tứ giác ABPN có

AB//PN

AP=BN

Do đó: ABPN là hình thang cân

a: Xét ΔDAB có M,N lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>MN là đường trung bình

=>MN//AB và \(MN=\dfrac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có P,Q lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>PQ là đường trung bình

=>PQ//AB và \(PQ=\dfrac{AB}{2}\)

Xét hình thang ABCD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MQ là đường trung bình

=>MQ//AB//CD và \(MQ=\dfrac{AB+CD}{2}\)

MQ//AB

MN//AB

Do đó: M,N,Q thẳng hàng(1)

PQ//AB

MQ//AB

Do đó: M,P,Q thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra M,N,P,Q thẳng hàng

b: Gọi O là giao của AC và BD

Xét ΔABD và ΔBAC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔABD=ΔBAC

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\)

=>OA=OB

OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và AC=BD

nên OC=OD

Xét ΔOCD có NP//DC
nên \(\dfrac{ON}{OD}=\dfrac{OP}{OC}\)

mà OD=OC

nên ON=OP

ON+OB=BN

OA+OP=AP

mà ON=OP và OA=OB

nên BN=AP

Xét hình thang ABPN có PA=BN

nên ABPN là hình thang cân

a) HS tự chứng minh hình thang ABPN có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

c) Cần thêm điều kiện NP = AB suy ra DC = 3AB

Ta có: OA = OC (gt)

⇒ ∆ OAC cân tại O

⇒ˆA1=1800–ˆAOC2⇒A^1=1800–AOC^2 (tính chất tam giác cân)   (1)

OB = OD (gt)

⇒ ∆ OBD cân tại O

⇒ˆB1=1800–ˆBOD2⇒B^1=1800–BOD^2 (tính chất tam giác cân)   (2)

ˆAOC=ˆBODAOC^=BOD^ (đối đỉnh)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: ˆA1=ˆB1A^1=B^1

⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang

Ta có: AB = OA + OB

            CD = OC + OD

Mà OA = OC, OB = OD

Suy ra: AB = CD

Vậy hình thang ACBD là hình thang cân.

a) △ABC có M và N là trung điểm của AB, BC nên MN // AC (1)

△ACD có P và Q là trung điểm của CD, DA nên PQ // AC (2)

△SMN có I và J là trung điểm của SM, SN nên IJ // MN (3)

△SPQ có L và K là trung điểm của SQ, SP nên LK // PQ (4)

Từ (1)(2)(3)(4) suy ra IJ // LK. Do đó: I, J, K, L đồng phẳng. 

Ta có:  \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{QP}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{IJ}{MN}=\dfrac{LK}{PQ}=\dfrac{1}{2}\)

Từ (6)(7) suy ra: IJ = LK mà IJ // LK 

Do đó: IJKL là hình bình hành. 

b) Ta có: M, P lần lượt là trung điểm của AB, CD

Suy ra: MP // BC (1)

△SMP có: I, K là trung điểm của SM, SP 

Suy ra: IK // MP (2)

Từ (1)(2) suy ra: IK // BC.

c) Ta có: J là điểm chung của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC) 

Mà: IK // BC 

Từ J kẻ Jx sao cho Jx // BC. Do đó, Jx là giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC). 

Giải: Xét tam giác ACD có F,G lần lượt là trung điểm AC,DC nên FG là đường trung bình
⇒⇒FG//ADFG//AD
C/m tương tự đc EH//AD;GH//EF//BCEH//AD;GH//EF//BC
⇒EFGH⇒EFGH là hình bình hành
a/Để EFGH là hình chữ nhật thì góc FGH=90oFGH=90o
⇒gócHGD+gócFGC=90o⇒gócHGD+gócFGC=90o
Mà góc HGD=góc BCD;góc FGC= góc ADC ( góc đồng vị = nhau)
⇒⇒ góc BCD+góc ADC=90o90o
⇒⇒Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD cần có góc BCD+góc ADC=90o90o
b/Để EFGH là hình thoi thì FG=HG
Mà FG=1/2AD; HG=1/2BC
⇒⇒AD=BC
⇒⇒Để EFGH là hình thoi thì tứ giác ABCD có AD=BC
c/ để EFGH là hình vuông thì EFGH phải vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi⇒⇒ABCD phải có đủ cả hai điều kiện trên

Nối A với C ta có AP là đường trung tuyến của ΔACDΔACD nên

SADP=SAPC=12SADC=14SABCDSADP=SAPC=12SADC=14SABCD

Tương tự SACR=SBCR=12SABC=14SABCD.SACR=SBCR=12SABC=14SABCD.

⇒SAPC+SACR=SARCP=12SABCD.⇒SAPC+SACR=SARCP=12SABCD.

SADP=SAPC=12SADC=14SABCDSADP=SAPC=12SADC=14SABCD

Tương tự SACR=SBCR=12SABC=14SABCD.SACR=SBCR=12SABC=14SABCD.

⇒SAPC+SACR=SARCP=12SABCD.⇒SAPC+SACR=SARCP=12SABCD.

Gọi H là giao điểm của AP và BQ, K là giao điểm của CR và BQ, M là giao điểm của AP và DS, N là giao điểm của CR và DS. 

Dễ thấy HKNM là hình bình hành nên các tam giác sau đây có cùng diện tích:

SAKH=SHKM=SMNH=SMNCSAKH=SHKM=SMNH=SMNC=SAKB=SMCD=SAKB=SMCD

Mà SAKR=12SAKBSAKR=12SAKB (đáy gấp đôi, chung đường cao)

Tương tự SMPC=12SMCDSMPC=12SMCD

⇒SAKH=SHKM=SMNH⇒SAKH=SHKM=SMNH=SMNC=(SAKR+SMPC)=SMNC=(SAKR+SMPC)=15SARCP.=15SARCP.

Mà SARCP=12SABCDSARCP=12SABCD

⇒SHKM+SMKN=15SABCD⇒SHKM+SMKN=15SABCD hay SKHMN=15SABCD.