cho a,b,c >0, abc=1 chứng minh rằng (a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)>=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
T
0
TL
18 tháng 6 2019
Gái xinh review app chất cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618 Link tải app: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618
13 tháng 8 2017
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
13 tháng 8 2017
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
ND
30 tháng 6 2018
Bài 2:
Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\), ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\) (1)
Lại áp dụng tương tự ta có:
\(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
ND
30 tháng 6 2018
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô -si, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b^3}.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{3}{b}\)
\(\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\sqrt[3]{\dfrac{b^2}{c^3}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{3}{c}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{a^2}{a^3}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
p/s: không chắc lắm, có gì sai xót xin giúp đỡ
NM
0
PT
2
T
7 tháng 8 2019
Nguyen Sy Hoc: mình nghĩ đề đâu sai đâu nhỉ?
Có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a.\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge a\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta thu được:
\(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
3 tháng 4 2020
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
Đề bài
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1.
Chứng minh rằng: (a^2 - a + 1)(b^2 - b + 1)(c^2 - c + 1) >= 1
Bài giải chi tiết
Bước 1: Phân tích và biến đổi biểu thức
Nhận thấy rằng việc nhân trực tiếp cả ba biểu thức ở vế trái sẽ rất phức tạp và khó để sử dụng giả thiết abc = 1. Do đó, chúng ta sẽ tìm cách biến đổi từng biểu thức (a^2 - a + 1), (b^2 - b + 1), (c^2 - c + 1) về một dạng khác thuận lợi hơn.
Ta nhớ lại hằng đẳng thức đáng nhớ "Tổng của hai lập phương":
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Từ hằng đẳng thức này, ta có thể suy ra:
x^2 - x + 1 = (x^3 + 1) / (x + 1)
Vì a, b, c là các số dương nên a+1, b+1, c+1 đều là số dương. Do đó, ta có thể áp dụng phép biến đổi trên cho từng nhân tử của vế trái:
Thay các biểu thức này vào bất đẳng thức cần chứng minh, ta được:
((a^3 + 1) / (a + 1)) * ((b^3 + 1) / (b + 1)) * ((c^3 + 1) / (c + 1)) >= 1
<=> (a^3 + 1)(b^3 + 1)(c^3 + 1) >= (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn cả hai vế của bất đẳng thức mới này.
VT = (a^3 + 1)(b^3 + 1)(c^3 + 1)
VT = (a^3b^3 + a^3 + b^3 + 1)(c^3 + 1)
VT = a^3b^3c^3 + a^3b^3 + a^3c^3 + a^3 + b^3c^3 + b^3 + c^3 + 1
Theo giả thiết, abc = 1 nên a^3b^3c^3 = (abc)^3 = 1^3 = 1.
VT = 1 + a^3b^3 + a^3c^3 + b^3c^3 + a^3 + b^3 + c^3 + 1
VT = 2 + a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3
VP = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
VP = (ab + a + b + 1)(c + 1)
VP = abc + ab + ac + a + bc + b + c + 1
Theo giả thiết abc = 1:
VP = 1 + ab + ac + bc + a + b + c + 1
VP = 2 + (a + b + c) + (ab + bc + ca)
Vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
2 + a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 >= 2 + (a + b + c) + (ab + bc + ca)
<=> a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 >= a + b + c + ab + bc + ca
Từ giả thiết abc = 1, ta có: ab = 1/c, bc = 1/a, ca = 1/b. Thay vào bất đẳng thức trên:
a^3 + b^3 + c^3 + (1/c)^3 + (1/a)^3 + (1/b)^3 >= a + b + c + 1/c + 1/a + 1/b
<=> (a^3 + 1/a^3) + (b^3 + 1/b^3) + (c^3 + 1/c^3) >= (a + 1/a) + (b + 1/b) + (c + 1/c)
Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ chứng minh một bất đẳng thức phụ đơn giản hơn.
Bước 2: Chứng minh bất đẳng thức phụ
Ta sẽ chứng minh rằng với mọi x > 0, ta luôn có: x^3 + 1/x^3 >= x + 1/x.
Để chứng minh, ta sử dụng phương pháp xét hiệu:
x^3 + 1/x^3 - (x + 1/x)
= (x + 1/x)(x^2 - x*(1/x) + 1/x^2) - (x + 1/x)
= (x + 1/x)(x^2 - 1 + 1/x^2) - (x + 1/x)
Đặt (x + 1/x) làm nhân tử chung:
= (x + 1/x) * ( (x^2 - 1 + 1/x^2) - 1 )
= (x + 1/x) * (x^2 - 2 + 1/x^2)
= (x + 1/x) * (x - 1/x)^2
Do đó, (x + 1/x) * (x - 1/x)^2 >= 0 với mọi x > 0.
Vậy bất đẳng thức phụ x^3 + 1/x^3 >= x + 1/x đã được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi (x - 1/x)^2 = 0, tức là x = 1/x, suy ra x^2 = 1. Vì x > 0 nên x = 1.
Bước 3: Hoàn thành chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức phụ vừa chứng minh cho các số dương a, b, c, ta có:
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
(a^3 + 1/a^3) + (b^3 + 1/b^3) + (c^3 + 1/c^3) >= (a + 1/a) + (b + 1/b) + (c + 1/c)
Đây chính là bất đẳng thức mà chúng ta đã suy ra ở cuối Bước 1. Vì bất đẳng thức này đúng, nên bất đẳng thức ban đầu cũng đúng.
Kết luận: Vậy, với a, b, c > 0 và abc = 1, ta đã chứng minh được (a^2 - a + 1)(b^2 - b + 1)(c^2 - c + 1) >= 1.
Dấu "=" xảy ra khi dấu "=" ở cả ba bất đẳng thức phụ xảy ra, tức là:
a = 1, b = 1 và c = 1.
Điều này thỏa mãn giả thiết abc = 1*1*1 = 1.
Lời khuyên