1. Ta chọn $x=3k;y=4k;z=5k$ với $k$ là số nguyên dương.

Khi này $x^2+y^2=25k^2 =z^2$. Tức có vô hạn nghiệm $(x;y;z)=(3k;4k;5k)$ với $k$ là số nguyên dương thỏa mãn

Câu 2:

Chọn $x=y=2k^3; z=2k^2$ với $k$ nguyên dương.

Khi này $x^2+y^2 =8k^6 = z^3$.

Tức tồn tại vô hạn $(x;y;z)=(2k^3;2k^3;2k^2) $ với $k$ nguyên dương là nghiệm phương trình.

Do 1974 chia 4 dư 2

=> \(1974^{4^{30}}⋮4\)=> \(1974^{4^{30}}+2013\)chia 4 dư 3

+ x lẻ

=> \(\left(19^x+1\right)⋮\left(19+1\right)=20⋮4\)

Lại có \(\left(5^y-1\right)⋮\left(5-1\right)=4\)

 1890 chia 4 dư 2

=> \(19^x+5^y+1890\)chia 4 dư 2(  loại vì VP chia 4 dư 3)

+ \(x\)chẵn  Đặt \(x=2k\)

=> \(19^x=19^{2k}=361^k\)

=> \(19^x-1=\left(361^k-1\right)⋮\left(361-1\right)⋮4\)

Lại có \(5^y-1⋮4\)

=> \((19^x+5^y-2)⋮4\)

=> \(\left(19^x+5^y+1890\right)⋮4\)(loại vì VP chia 4 dư 3)

=> PT vô nghiệm

Vậy PT vô nghiệm

Đề bài này phải là tìm nghiệm nguyên dương thôi, chứ nghiệm âm thì chắc chắn không được

a) Nhận xét:

Với x lẻ: \(19^x\equiv-1\left(mod.5\right)\)

Với x chẵn: \(19^x\equiv1\left(mod.5\right)\)

=> \(19^x\equiv\pm1\left(mod.5\right)\) với mọi x nguyên dương

\(2023\equiv3\left(mod.5\right)\)

Lại có: \(\hept{\begin{cases}5^y\equiv0\left(mod.5\right)\\1890\equiv0\left(mod.5\right)\\1945^{4^{20}}\equiv\left(mod.5\right)\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}19^x+5^y+1890\equiv\pm1\left(mod.5\right)\\1945^{4^{20}}+2023\equiv3\left(mod.5\right)\end{cases}}\)

Mà VP = VT => vô lý

=> Phương trình vô nghiệm

Đợi xí làm nốt b

b) Áp dụng định lý Fermat dưới dạng tổng quát: \(a^n\equiv a\left(mod.n\right)\) thì ta có:

\(x^5\equiv x\left(mod.5\right)\) ; \(y^5\equiv y\left(mod.5\right)\) ; \(\left(x-3\right)^5\equiv x-3\left(mod.5\right)\)

và \(\left(y+2\right)^5\equiv y+2\left(mod.5\right)\)

Cộng vế lại ta được:

\(\hept{\begin{cases}x^5+y^5+2\equiv x+y+2\left(mod.5\right)\\\left(x-3\right)^5+\left(y+2\right)^5\equiv x+y-1\left(mod.5\right)\end{cases}}\)

Mà \(x^5+y^5+2=\left(x-3\right)^5+\left(y+2\right)^5\) => vô lý

Vậy PT vô nghiệm

Hình như đây là CĐ PT vô nghiệm

a ) \(A=\left|x+19\right|+\left|y-5\right|+1890\)

Để A nhỏ nhất thì \(\left|x+19\right|\)và \(\left|y-5\right|\)nhỏ nhất .
Ta thấy : \(\left|x+19\right|\)và \(\left|y-5\right|\) \(\ge0\) ( với ∀ x , y ) \(\Rightarrow\) \(\left|x+19\right|+\left|y-5\right|+1890\ge1890\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=-19\)và \(y=5\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(1890\) tại \(x=-19\)và \(y=5\)

b ) \(B=-\left|x-7\right|-\left|y+13\right|+1945\)

Ta thấy : \(-\left|x-7\right|\) và \(-\left|y-5\right|\le0\) ( với ∀ x , y ) \(\Rightarrow\) \(-\left|x-7\right|-\left|y+13\right|+1945\le1945\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=7\) và \(y=5\)

Vậy GTLN của \(B\) là \(1945\) tại \(x=7\)và \(y=5\).

a) 

\(\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(4;10\right)\)