Co \(\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=x^2+1-x^2=1\)   (1)

  va \(\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=y^2+1-y^2=1\) (2)

Theo de bai va tu (1) ,(2) =>\(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\) (3)

                                         va \(\sqrt{y^2+1}+y=\sqrt{x^2+1}-x\) (4)

Cong (3) voi (4) ve theo ve duoc \(2\left(x+y\right)=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2+1}=0\)

                                            Suy ra x+y=0    DPCM

Study well

Ta có: \(xy + \sqrt{(x^2 + 1)(y^2 + 1)} = 1\)

=>\(\sqrt{(x^2 + 1)(y^2 + 1)} = 1 - xy\)

=>\((x^2 + 1)(y^2 + 1) = (1 - xy)^2\) và 1-xy>=0

=>xy<=1 và \(x^2 y^2 + x^2 + y^2 + 1 = 1 - 2xy + x^2 y^2\)

=>xy<=1 và \(x^2 + y^2 = -2xy\)

=>xy<=1 và \(x^2+y^2+2xy=0\)

=>xy<=1 và \(\left(x+y\right)^2=0\)

=>xy<=1 và x+y=0

=>xy<=1 và y=-x

Thay y=-x vào biểu thức \(x\cdot\sqrt{1+y^2}+y\cdot\sqrt{1+x^2}\) , ta được:

\(x\sqrt{1 + y^2} + y\sqrt{1 + x^2} = x\sqrt{1 + (-x)^2} + (-x)\sqrt{1 + x^2}\)

\(= x\sqrt{1 + x^2} - x\sqrt{1 + x^2} = 0\)

a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb

cái này chỉ cần nhân liên hợp là ra

Nhân biểu thức Liên hợp Quân ơi

biết làm rồi

VẬy bạn giải ra cho mọi người xem được ko?

Lớn hơn hoặc bằng kí hiệu trong Latex là \geq nha!

post từng câu một thôi bn nhìn mệt quá