Cho Yam giac ABC, góc A = 90°, AH vuông góc BC tại H. Đường tròn (I) tiếp xúc với đoạn AB; đoạn HB lần lượt tại
E,D và tiếp xúc ngoài với (AC) tại F.
- Chứng minh rằng C,E,F thẳng hàng.
- Chứng minh rằng CD = CA. vẽ hình lun giúpppp em gapppp vs aaaaaaaa
Gọi Ω là đường tròn đường kính AC.
Đặt hệ trục tọa độ:
A(0,0), B(b,0), C(0,c), với b > 0, c > 0
Khi đó AB là trục Ox, AC là trục Oy.
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB tại E nên đặt
I(u,r), E(u,0)
Vì (I) tiếp xúc với BC tại D nên khoảng cách từ I đến BC bằng r.
Phương trình BC là:
cx + by - bc = 0
Suy ra
bc - cu - br = r√(b^2 + c^2) (1)
Đường tròn Ω có tâm O(0,c/2), bán kính c/2.
Vì (I) tiếp xúc ngoài với Ω tại F nên
OI = r + c/2
hay
u^2 + (r - c/2)^2 = (r + c/2)^2
Suy ra
u^2 = 2cr (2)
Chứng minh C, E, F thẳng hàng
Vì F là tiếp điểm ngoài của hai đường tròn nên F nằm trên đoạn OI và
OF : FI = c/2 : r
Suy ra
F = O + (c/(c + 2r)) (I - O)
Nên tọa độ F là
xF = cu/(c + 2r)
yF = 2cr/(c + 2r)
Đường thẳng CE đi qua C(0,c) và E(u,0), nên có phương trình
y = c - (c/u)x
Thay tọa độ F vào:
c - (c/u).cu/(c + 2r)
= c - c^2/(c + 2r)
= 2cr/(c + 2r)
= yF
Vậy F thuộc CE, do đó C, E, F thẳng hàng.
Chứng minh CD = CA
Vì BC là tiếp tuyến của (I) tại D nên lực của điểm C đối với (I) là
CD^2 = CE.CF (3)
Ta tính CE và CF.
Ta có
CE^2 = u^2 + c^2
Từ (2):
CE^2 = 2cr + c^2 = c(c + 2r) (4)
Mặt khác, vì F thuộc CE và
xF/xE = [cu/(c + 2r)]/u = c/(c + 2r)
nên
CF/CE = c/(c + 2r)
Suy ra
CF = c/(c + 2r) . CE (5)
Từ (3), (4), (5):
CD^2 = CE.CF
= CE . c/(c + 2r) . CE
= c/(c + 2r) . CE^2
= c/(c + 2r) . c(c + 2r)
= c^2
Vậy
CD = c
Mà
CA = c
Suy ra
CD = CA
Kết luận:
C, E, F thẳng hàng
CD = CA