Chứng minh rằng |a+b|+|a − b| = 2max(|a|;|b|)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SX
0
10 tháng 8 2016
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
29 tháng 11 2021
\(4,VT=-a+b+c-a+b-c+a-b-c=-a+b-c=-\left(a-b+c\right)=VP\\ 5,M=-a+b-b-c+a+c-a=-a\\ M>0\Rightarrow-a>0\Rightarrow a< 0\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
31 tháng 12 2023
a: \(\dfrac{a+5}{a-5}=\dfrac{b+6}{b-6}\)
=>(a+5)(b-6)=(a-5)(b+6)
=>ab-6a+5b-30=ab+6a-5b-30
=>-6a+5b=6a-5b
=>-12a=-10b
=>6a=5b
=>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{6}\)
b: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
=>\(a=bk;c=dk\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\dfrac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\cdot b}{dk\cdot d}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)
28 tháng 2 2020
\(A=3+3^2+3^3+...+3^{100}\)
\(\Leftrightarrow3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^{101}\)
\(\Leftrightarrow3A-A=\left(3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{101}\right)-\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\right)\)
\(\Leftrightarrow2A=3^{101}-3\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{3^{101}-3}{2}< 3^{100}-1\)
\(\Leftrightarrow A< B\)
28 tháng 2 2020
a. tính A = 3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100
3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^100
3A-A=(3^2+3^3+3^4+....+3^101)-(3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100)=3^101-3=3^100
mà B=3^100-1 => A<B
Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức sau cho mọi số thực \(a\) và \(b\):
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = 2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) .\)
Phân tích các trường hợp
Ta sẽ chia bài toán thành 3 trường hợp dựa trên giá trị của \(a\) và \(b\).
Trường hợp 1: \(a \geq b \geq 0\)
Khi đó, ta có:
Vậy:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = \left(\right. a + b \left.\right) + \left(\right. a - b \left.\right) = 2 a .\)
Vì \(a \geq b \geq 0\), ta có:
\(max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) = a .\)
Vậy:
\(2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) = 2 a .\)
Do đó, trong trường hợp này, ta có:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = 2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) .\)
Trường hợp 2: \(b > a \geq 0\)
Khi đó, ta có:
Vậy:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = \left(\right. a + b \left.\right) + \left(\right. b - a \left.\right) = 2 b .\)
Vì \(b > a \geq 0\), ta có:
\(max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) = b .\)
Vậy:
\(2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) = 2 b .\)
Do đó, trong trường hợp này, ta có:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = 2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) .\)
Trường hợp 3: \(a \geq 0 \geq b\)
Khi đó, ta có:
Vậy:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = \left(\right. a + b \left.\right) + \left(\right. a - b \left.\right) = 2 a .\)
Vì \(a \geq 0 \geq b\), ta có:
\(max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) = a .\)
Vậy:
\(2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) = 2 a .\)
Do đó, trong trường hợp này, ta có:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = 2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) .\)
Trường hợp 4: \(b \geq 0 \geq a\)
Khi đó, ta có:
Vậy:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = \left(\right. - a + b \left.\right) + \left(\right. - a - b \left.\right) = - 2 a .\)
Vì \(b \geq 0 \geq a\), ta có:
\(max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) = b .\)
Vậy:
\(2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) = 2 b .\)
Do đó, trong trường hợp này, ta có:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = 2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right) .\)
Kết luận
Từ các trường hợp trên, ta có thể rút ra rằng đối với mọi số thực \(a\) và \(b\), đẳng thức:
\(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = 2 \cdot max \left(\right. \mid a \mid , \mid b \mid \left.\right)\)
luôn đúng.
Do đó, ta đã chứng minh xong.
Tham khảo