- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)

Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:

+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2+3m\right)=-5m+1\)

- Với \(m\ge\dfrac{1}{5}\Rightarrow\Delta'\le0\) bpt nghiệm đúng với mọi x hay tập nghiệm là \(D=R\)

- Với \(m< \dfrac{1}{5}\Rightarrow\Delta'>0\) bpt nghiệm pb: \(1-m-\sqrt{-5m+1}\le x\le1-m+\sqrt{-5m+1}\)

Ta có: \(x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow f\left(m\right)=\left(-6x+1\right)m+x^2+2x+3\ge0\)

Ta thấy \(f\left(m\right)\) là hàm số bậc nhất mà \(x\in[1;+\infty)\Rightarrow-6x+1< 0\)

\(\Rightarrow\) Hàm \(f\left(m\right)\) nghịch biến

Từ giả thiết \(m\le1\Rightarrow f\left(m\right)\ge f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge\left(x-2\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

Hệ điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left(m-1\right)^2-\left(3m+6\right)\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\-2m^2-11m-5\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m\le-5\\m\ge-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge-\frac{1}{2}\)

Ta có \(2x^2-\left(3m+1\right)x+m^2+m=0\) (a) 

\(\Leftrightarrow\) \(x=m:=x_1\) hoặc \(x=\frac{m+1}{2}:=x_2\)

Bởi vậy \(\begin{cases}2x^2-\left(3m+1\right)x+m^2+m=0\\x^2-mx-3m-1\ge0\end{cases}\)  (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai nghiệm \(x_1\) , \(x_2\) đó

khác nhau và cùng thỏa mãn ( b) , hay là :

\(\begin{cases}\begin{cases}m\ne\frac{m+1}{2}\\m^2-m^2-3m-1\ge0\end{cases}\\\left(\frac{m+1}{2}\right)^2-m\frac{m+1}{2}-3m-1\ge0\\\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}m\ne1\\m\le-\frac{1}{3}\\m^2+12m+3\le0\end{cases}\)

\(\left(\Rightarrow m\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}m\le-\frac{1}{3}\\-6-\sqrt{33}\le m\le-6+\sqrt{33}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow-6-\sqrt{33}\le m\le-\frac{1}{3}\)

Vậy  \(-6-\sqrt{33}\le m\le-\frac{1}{3}\) là các giá trị cần tìm

a: Để BPT có nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(m-9\right)^2-8\left(m^2+3m+4\right)< =0\)

=>m^2-18m+81-8m^2-24m-32<=0

=>-7m^2-42m+49<=0

=>x<=-7 hoặc x>=1

b: \(\Leftrightarrow3x^2+\left(m+6\right)x-m+5>0\)

Để BPT có nghiệm thì (m+6)^2-12(-m+5)<0

=>m^2+12m+36+12m-60<0

=>m^2+24m-24<0

=>\(-12-2\sqrt{42}< m< -12+2\sqrt{42}\)