I. Tóm tắt đề bài:

• Tam giác ABC với:
• • AB = 3 cm
  • AC = 4 cm
  • BC = 5 cm → Đây là tam giác vuông tại A (theo định lý Pythagore: \(A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}\))
• Dựng tam giác vuông cân tại A:
• • ABD vuông cân tại A → góc \(\angle D A B = 90^{\circ}\), \(A D = A B = 3\)
  • AEC vuông cân tại A → góc \(\angle C A E = 90^{\circ}\), \(A E = A C = 4\)
• Dựng các tam giác này về phía ngoài tam giác ABC
• Câu hỏi: Xác định tâm và tính bán kính đường tròn đi qua các điểm B, C, D, E

II. Phân tích hình học

Để dễ hình dung, ta đặt tam giác ABC vào mặt phẳng tọa độ:

1. Đặt hệ tọa độ:

• Gọi điểm A tại gốc tọa độ: \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• AB = 3 cm → Đặt \(B \left(\right. 3 , 0 \left.\right)\) nằm trên trục hoành
• AC = 4 cm → vì tam giác vuông tại A, nên \(C \left(\right. 0 , 4 \left.\right)\)

✅ Kiểm tra lại độ dài BC:

\(B C = \sqrt{\left(\right. 3 - 0 \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - 4 \left.\right)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \Rightarrow \text{ok}\)

2. Xác định điểm D (tam giác ABD vuông cân tại A)

• Tam giác vuông cân tại A và nằm ngoài tam giác ABC
• \(\angle D A B = 90^{\circ}\)
• Khi quay đoạn AB (hướng từ A đến B) một góc 90° ngược chiều kim đồng hồ → ta có:

Gọi \(\overset{⃗}{A B} = \left(\right. 3 , 0 \left.\right)\)
→ Quay 90° ngược chiều kim đồng hồ → vector \(\overset{⃗}{A D} = \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\)

→ Tọa độ D: \(A + \overset{⃗}{A D} = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) + \left(\right. 0 , 3 \left.\right) = \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\)

→ \(D \left(\right. 0 , 3 \left.\right)\)

3. Xác định điểm E (tam giác AEC vuông cân tại A)

• Tam giác vuông cân tại A, nằm ngoài tam giác ABC
• \(\angle C A E = 90^{\circ}\)
• Gọi \(\overset{⃗}{A C} = \left(\right. 0 , 4 \left.\right)\)
  → Quay 90° theo chiều kim đồng hồ → \(\overset{⃗}{A E} = \left(\right. 4 , 0 \left.\right)\)

→ Tọa độ E: \(A + \overset{⃗}{A E} = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) + \left(\right. 4 , 0 \left.\right) = \left(\right. 4 , 0 \left.\right)\)

→ \(E \left(\right. 4 , 0 \left.\right)\)

4. Tọa độ các điểm:

• A(0, 0)
• B(3, 0)
• C(0, 4)
• D(0, 3)
• E(4, 0)

III. Xác định đường tròn đi qua 4 điểm: B, C, D, E

1. Kiểm tra xem 4 điểm có nằm trên cùng 1 đường tròn không?

Dễ thấy không đồng phẳng, ta dùng phương pháp xác định tâm đường tròn ngoại tiếp 4 điểm

2. Phương pháp:

Dùng công thức trung bình trực giao — nhưng vì tọa độ các điểm đã biết, ta dùng định lý hình học phẳng để tìm tâm.

Quan sát đặc biệt:

Ta vẽ các điểm:

• B(3, 0), E(4, 0) → nằm trên trục hoành
• C(0, 4), D(0, 3) → nằm trên trục tung

→ Đặt giả thiết: 4 điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn có tâm I(x, y)
→ Ta tìm giao điểm của đường trung trực của 2 đoạn bất kỳ (VD: BE và CD)

Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp các điểm B, C, D, E

Lấy 2 đoạn:

• BE có trung điểm \(M_{1} = \left(\right. \frac{3 + 4}{2} , 0 \left.\right) = \left(\right. 3.5 , 0 \left.\right)\), vector BE = (1, 0)
  → Đường trung trực của BE là đường thẳng vuông góc BE, tức là đường x = 3.5
• CD có trung điểm \(M_{2} = \left(\right. 0 , \frac{4 + 3}{2} \left.\right) = \left(\right. 0 , 3.5 \left.\right)\), vector CD = (0, 1)
  → Đường trung trực của CD là đường y = 3.5

→ Giao điểm của 2 đường trung trực là \(I \left(\right. 3.5 , 3.5 \left.\right)\)

✅ Tâm đường tròn: \(I \left(\right. 3.5 , 3.5 \left.\right)\)

IV. Tính bán kính

Chọn điểm B(3, 0), tính khoảng cách đến tâm:

\(R = I B = \sqrt{\left(\right. 3.5 - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. 3.5 - 0 \left.\right)^{2}} = \sqrt{0.5^{2} + 3.5^{2}} = \sqrt{0.25 + 12.25} = \sqrt{12.5} = \boxed{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \&\text{nbsp};\text{cm}}\)

✅ KẾT LUẬN CUỐI CÙNG:

• Tâm đường tròn: \(I \left(\right. 3.5 ; \&\text{nbsp}; 3.5 \left.\right)\)
• Bán kính: \(\boxed{R = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \&\text{nbsp};\text{cm}}\)