Ta có biểu thức:

\(K = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right)} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; x > 0\)

⚙️ Phân tích biểu thức

Biểu thức có mẫu số là:

\(x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right)\)

• Với \(x > 0\), điều kiện tồn tại là: \(x \neq 1\) (vì mẫu sẽ bằng 0).
• Xét dấu mẫu số:
• • Nếu \(0 < x < 1\) ⇒ \(1 - x > 0\) ⇒ mẫu dương
  • Nếu \(x > 1\) ⇒ \(1 - x < 0\) ⇒ mẫu âm
    ⇒ Biểu thức sẽ đổi dấu tại \(x = 1\), không xác định tại x = 1.

✅ Đặt biến phụ để tìm giá trị nhỏ nhất

Đặt \(t = x^{2} > 0\), suy ra:

\(K = \frac{4 t + 1}{t \left(\right. 1 - \sqrt{t} \left.\right)}\)

Biểu thức này phức tạp do có căn, nên ta chọn cách khác dễ hơn.

📌 Giải bằng đạo hàm (cách nhanh & chính xác)

Biểu thức ban đầu:

\(K \left(\right. x \left.\right) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right)} = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} - x^{3}}\)

Gọi:

• Tử số: \(f \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{2} + 1\)
• Mẫu số: \(g \left(\right. x \left.\right) = x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right) = x^{2} - x^{3}\)

Ta tìm đạo hàm \(K^{'} \left(\right. x \left.\right)\) để tìm min.

📉 Tìm cực trị bằng đạo hàm

\(K \left(\right. x \left.\right) = \frac{f \left(\right. x \left.\right)}{g \left(\right. x \left.\right)} \Rightarrow K^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{f^{'} \left(\right. x \left.\right) g \left(\right. x \left.\right) - f \left(\right. x \left.\right) g^{'} \left(\right. x \left.\right)}{\left[\right. g \left(\right. x \left.\right) \left]\right.^{2}}\)

Tính từng phần:

• \(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 8 x\)
• \(g \left(\right. x \left.\right) = x^{2} - x^{3}\)
• \(g^{'} \left(\right. x \left.\right) = 2 x - 3 x^{2}\)

Thế vào:

\(K^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{8 x \left(\right. x^{2} - x^{3} \left.\right) - \left(\right. 4 x^{2} + 1 \left.\right) \left(\right. 2 x - 3 x^{2} \left.\right)}{\left(\right. x^{2} - x^{3} \left.\right)^{2}}\)

Tử số rút gọn:

1. \(8 x \left(\right. x^{2} - x^{3} \left.\right) = 8 x^{3} - 8 x^{4}\)
2. \(\left(\right. 4 x^{2} + 1 \left.\right) \left(\right. 2 x - 3 x^{2} \left.\right)\)

Áp dụng phân phối:

\(= 4 x^{2} \left(\right. 2 x - 3 x^{2} \left.\right) + 1 \left(\right. 2 x - 3 x^{2} \left.\right) = 8 x^{3} - 12 x^{4} + 2 x - 3 x^{2}\)

Tử số đạo hàm:

\(\left(\right. 8 x^{3} - 8 x^{4} \left.\right) - \left(\right. 8 x^{3} - 12 x^{4} + 2 x - 3 x^{2} \left.\right) = - 8 x^{4} + 12 x^{4} - 2 x + 3 x^{2} = 4 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x\)

Giải \(K^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) ⇔

\(4 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x \left(\right. 4 x^{3} + 3 x - 2 \left.\right) = 0 \Rightarrow x = 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 4 x^{3} + 3 x - 2 = 0\)

Loại \(x = 0\) (vì điều kiện \(x > 0\)).

Giải gần đúng:

\(4 x^{3} + 3 x - 2 = 0\)

Thử \(x = \frac{1}{2}\):

\(4 \left(\right. \frac{1}{8} \left.\right) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2 \Rightarrow \text{Th}ỏ\text{a}\)

Vậy nghiệm: \(x = \frac{1}{2}\)

✅ Tính K tại \(x = \frac{1}{2}\)

\(K = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right)} = \frac{4 \cdot \left(\right. \frac{1}{4} \left.\right) + 1}{\left(\right. \frac{1}{4} \left.\right) \left(\right. 1 - \frac{1}{2} \left.\right)} = \frac{1 + 1}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{8}} = 16\)

✅ Đáp án cuối cùng:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K\) là:

\(\boxed{16}\)

Khi \(x = \frac{1}{2}\)

Như mình đã phân tích, nếu bạn chỉ lấy \(x\) trong khoảng mà mẫu dương (tức \(0 < x < 1\)), thì \(K \left(\right. x \left.\right)\) có đúng một điểm cực tiểu tại

\(x = \frac{1}{2} ,\)

và

\(K \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) = 16.\)

Nhưng nếu bạn để \(x > 0\) (kể cả \(x > 1\), nơi mẫu số trở thành âm), thì ngay khi \(x \rightarrow 1^{+}\) mẫu số \(\textrm{ } x^{2} \left(\right. 1 - x \left.\right) \rightarrow 0^{-}\) trong khi tử số \(4 x^{2} + 1 \rightarrow 5 > 0\), nên

\(K \left(\right. x \left.\right) \rightarrow - \infty .\)

Như vậy trên toàn bộ miền xác định \(x > 0 , \textrm{ }\textrm{ } x \neq 1\), \(K\) không có giá trị nhỏ nhất (nó giội về \(- \infty\) khi \(x \rightarrow 1^{+}\)).

• Nếu bài yêu cầu tìm min trên \(\left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) thì

Kmin⁡=16 tại x=12.\boxed{K_{\min}=16\text{ tại }x=\tfrac12.}

• Nếu bài cho \(x > 0\) (toàn miền xác định) thì

\(\boxed{K \&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ị\&\text{nbsp};\text{nh}ỏ\&\text{nbsp};\text{nh} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};( inf ⁡ K = - \infty ).}\)