tìm các số x,y nguyên dương,nguyên tố cùng nhau sao cho x^2+y=(x-y)^3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
16 tháng 12 2023
1) Gọi hai số cần tìm là a2 và b2(a,b lớn hơn hoặc bằng 2)
Vì a2+ b2= 2234 là số chẵn -> a, b cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Mà chỉ có một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 -> hai số đó cùng lẻ
a2+ b2 = 2234 không chia hết cho 5
Giả sử cả a2, b2 đều không chia hết cho 5
-> a2,b2 chia 5 dư 1,4 ( vì là số chính phương)
Mà a2+ b2 = 2234 chia 5 dư 4 nên o có TH nào thỏa mãn -> Giả sử sai
Giả sử a=5 -> a2= 25
b2= 2209
b2= 472
-> b=47
Vậy hai số cần tìm là 5 và 47
18 tháng 5 2016
3)PT x3+y3+z3=nx2y2z2x3+y3+z3=nx2y2z2 (*)
Không mất tỉnh tổng quát . Giả sử x≥y≥zx≥y≥z
Xét x=1x=1 suy ra y=z=1y=z=1 và n=3n=3
Bây giờ ta xét x≥2x≥2
Như vậy thì theo phương trình (∗)(∗) thì
x3+y3+z3≥(xyz)2x3+y3+z3≥(xyz)2 . Chia cả 22 vế cho x3x3 ta được :
y3+z3x3≥(yz)2x−1y3+z3x3≥(yz)2x−1 (2)
Mà y3+z3x3≤2y3+z3x3≤2
Suy ra x≥(yz)23x≥(yz)23
Mà ta lại có x2|(y3+z3)x2|(y3+z3) nên 2y3≥y3+z3≥x22y3≥y3+z3≥x2
Từ đó ta được y4z49≤x2≤2y3y4z49≤x2≤2y3
Suy ra yz4≤18⇔z≤4√18yz4≤18⇔z≤184 từ đó ta có z<2z<2
Suy ra z=1z=1
Thế vào (2) ta có : y2x−1≤y3+1x3≤1+1x3y2x−1≤y3+1x3≤1+1x3
Suy ra y2≤2x+1x2≤2x+14y2≤2x+1x2≤2x+14
Suy ra 2x≥y2−14>y22x≥y2−14>y2 suy ra x≥y22x≥y22 (3)
Mà y3+z3≥x2y3+z3≥x2 suy ra y3+1≥x2y3+1≥x2
Lại từ (3) ta có x2≥y44x2≥y44
Từ đó suy ra y3+1≥x2≥y44y3+1≥x2≥y44
(2x)32≥y3(2x)32≥y3
Ta có bất phương trình (2x)32+1≥x3(2x)32+1≥x3
Suy ra x≤2x≤2
Đến đây ta sử dụng bất phương trình x≥y22x≥y22 rồi tìm ra nn
Ta cần tìm các số nguyên dương \(x , y\) thỏa mãn:
\(x^{2} + y = \left(\right. x - y \left.\right)^{3}\)
Bước 1: Phân tích phương trình
Viết lại phương trình:
\(x^{2} + y = \left(\right. x - y \left.\right)^{3}\)Đặt \(a = x - y\), ta có:
\(x^{2} + y = a^{3}\)Do \(a = x - y\), nên \(x = a + y\).
Thay vào phương trình:
\(\left(\right. a + y \left.\right)^{2} + y = a^{3}\)Mở rộng:
\(a^{2} + 2 a y + y^{2} + y = a^{3}\)Chuyển vế:
\(a^{3} - a^{2} - 2 a y - y^{2} - y = 0\)Bước 2: Tìm nghiệm nguyên dương
Ta cần tìm \(a , y\) nguyên dương sao cho phương trình trên đúng, đồng thời \(x = a + y\) cũng nguyên dương.
Ngoài ra, \(x\) và \(y\) nguyên tố cùng nhau.
Bước 3: Thử các giá trị nhỏ của \(a\)
Trường hợp \(a = 1\):
\(1^{3} - 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot y - y^{2} - y = 0 \Rightarrow 1 - 1 - 2 y - y^{2} - y = 0\) \(- 3 y - y^{2} = 0 \Rightarrow y \left(\right. y + 3 \left.\right) = 0\)Vì \(y > 0\), không có nghiệm.
Trường hợp \(a = 2\):
\(8 - 4 - 4 y - y^{2} - y = 0 \Rightarrow 4 - 5 y - y^{2} = 0\) \(y^{2} + 5 y - 4 = 0\)Phương trình bậc hai, nghiệm:
\(y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{41}}{2}\)Không có nghiệm nguyên dương.
Trường hợp \(a = 3\):
\(27 - 9 - 6 y - y^{2} - y = 0 \Rightarrow 18 - 7 y - y^{2} = 0\) \(y^{2} + 7 y - 18 = 0\)Nghiệm:
\(y = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} = \frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{- 7 \pm 11}{2}\)Nghiệm dương:
\(y = \frac{- 7 + 11}{2} = 2\)Bước 4: Tính \(x\) và kiểm tra điều kiện
Với \(a = 3\), \(y = 2\), ta có:
\(x = a + y = 3 + 2 = 5\)Kiểm tra:
- \(x = 5\), \(y = 2\) đều nguyên dương.
- \(gcd \left(\right. 5 , 2 \left.\right) = 1\), thỏa mãn nguyên tố cùng nhau.
- Kiểm tra lại phương trình:
\(x^{2} + y = 5^{2} + 2 = 25 + 2 = 27\) \(\left(\right. x - y \left.\right)^{3} = \left(\right. 5 - 2 \left.\right)^{3} = 3^{3} = 27\)Phương trình đúng.
Kiểm tra các \(a > 3\) có nghiệm nguyên dương không?
Thử \(a = 4\):
\(64 - 16 - 8 y - y^{2} - y = 0 \Rightarrow 48 - 9 y - y^{2} = 0\) \(y^{2} + 9 y - 48 = 0\)Nghiệm:
\(y = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 192}}{2} = \frac{- 9 \pm \sqrt{273}}{2}\)Không nguyên.
Thử \(a = 5\):
\(125 - 25 - 10 y - y^{2} - y = 0 \Rightarrow 100 - 11 y - y^{2} = 0\) \(y^{2} + 11 y - 100 = 0\)Nghiệm:
\(y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 400}}{2} = \frac{- 11 \pm \sqrt{521}}{2}\)Không nguyên.
Kết luận:
Nghiệm duy nhất thỏa mãn yêu cầu là:
\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 5 , 2 \left.\right)}\)Nếu cần mình có thể giúp bạn giải thích thêm hoặc kiểm tra các trường hợp khác nhé!