Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn 3x-y=1. Chứng minh rằng:5xx-yy<=1,25
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HT
0
H
6 tháng 4 2021
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+y+1+x\right)=x+y+2=2+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\ge\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
28 tháng 2 2021
Áp dụng bđt Cô-si vào 2 số dương có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\sqrt{xy}\ge4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}=2\sqrt{4}=4\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=4\)
28 tháng 2 2021
`1/x+1/y>=2/(\sqrt{xy})`
`<=>1/2>=2/(\sqrt{xy})`
`<=>\sqrt{xy}>=4`
`=>\sqrt{x}+\sqrt{y}>=2.2=4`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=4`
Cho \(x , y\) là hai số thực thỏa mãn \(3 x - y = 1\). Ta cần chứng minh bất đẳng thức:
\(5 x^{2} - y^{2} \leq 1 , 25\)Bước 1: Biểu diễn \(y\) theo \(x\)
Từ điều kiện \(3 x - y = 1\), ta có:
\(y = 3 x - 1\)Bước 2: Thay \(y\) vào biểu thức cần chứng minh
Ta có:
\(5 x^{2} - y^{2} = 5 x^{2} - \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)^{2}\)Mở bình phương:
\(= 5 x^{2} - \left(\right. 9 x^{2} - 6 x + 1 \left.\right) = 5 x^{2} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = - 4 x^{2} + 6 x - 1\)Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f \left(\right. x \left.\right) = - 4 x^{2} + 6 x - 1\)
Hàm số bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = - 4 x^{2} + 6 x - 1\) có hệ số \(a = - 4 < 0\), nên hàm có giá trị cực đại tại:
\(x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{2 \times \left(\right. - 4 \left.\right)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75\)Tính giá trị cực đại:
\(f \left(\right. x_{0} \left.\right) = - 4 \times \left(\right. 0.75 \left.\right)^{2} + 6 \times 0.75 - 1 = - 4 \times 0.5625 + 4.5 - 1 = - 2.25 + 4.5 - 1 = 1.25\)Kết luận:
\(5 x^{2} - y^{2} \leq 1.25\)với dấu bằng xảy ra khi \(x = \frac{3}{4}\), \(y = 3 \times \frac{3}{4} - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}\).
Nếu bạn cần mình giải thích thêm hoặc làm bài tập tương tự, cứ nói nhé!