Phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng trong không gian, khoảng cách, góc.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
21 tháng 12 2019
Đáp án D
Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng d.
Ta có: AH ≤ AM nên khoảng cách từ A đến đường thẳng d nhỏ nhất khi AH trùng với mới AM, khi đó H trùng với M và AM vuông góc d. Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n p → (1; 1; 1) . AM → (0; -2; -1) Đường thẳng d nhận vecto [ AM → ; n p → ] làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d:
GB
22 tháng 5 2025
Dưới đây là hướng dẫn chi tiết giải bài toán từ link bạn cung cấp:
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A \left(\right. 3 ; 2 ; 1 \left.\right)\), \(M \left(\right. 3 ; 0 ; 0 \left.\right)\) và mặt phẳng \(\left(\right. P \left.\right) : x + y + z - 3 = 0\).
Viết phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\), nằm trong mặt phẳng \(\left(\right. P \left.\right)\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(d\) nhỏ nhất.
Phân tích & Cách giải
1. Điều kiện của đường thẳng \(d\)
- Đi qua \(M \left(\right. 3 ; 0 ; 0 \left.\right)\).
- Nằm trong mặt phẳng \(\left(\right. P \left.\right)\).
- Khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) nhỏ nhất.
2. Nhận xét quan trọng
Khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) nhỏ nhất khi đường thẳng \(d\) nằm trong \(\left(\right. P \left.\right)\), đi qua \(M\) và vuông góc với đoạn \(A M\).
3. Tìm vector chỉ phương của \(d\)
- \(\overset{\rightarrow}{A M} = \left(\right. 3 - 3 , 0 - 2 , 0 - 1 \left.\right) = \left(\right. 0 , - 2 , - 1 \left.\right)\)
- Đường thẳng \(d\) nằm trong \(\left(\right. P \left.\right)\) nên vector chỉ phương \(\overset{\rightarrow}{u}\) của \(d\) phải vuông góc với vector pháp tuyến của \(\left(\right. P \left.\right)\): \(\overset{\rightarrow}{n_{P}} = \left(\right. 1 , 1 , 1 \left.\right)\)
- Đồng thời, \(\overset{\rightarrow}{u}\) phải vuông góc với \(\overset{\rightarrow}{A M}\)
Vậy:
\(\overset{\rightarrow}{u} = \overset{\rightarrow}{A M} \times \overset{\rightarrow}{n_{P}}\)
Tính tích có hướng:
\(\overset{\rightarrow}{u} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & - 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \mid = \mathbf{i} \left(\right. \left(\right. - 2 \left.\right) \cdot 1 - \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot 1 \left.\right) - \mathbf{j} \left(\right. 0 \cdot 1 - \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot 1 \left.\right) + \mathbf{k} \left(\right. 0 \cdot 1 - \left(\right. - 2 \left.\right) \cdot 1 \left.\right)\) \(= \mathbf{i} \left(\right. - 2 + 1 \left.\right) - \mathbf{j} \left(\right. 0 + 1 \left.\right) + \mathbf{k} \left(\right. 0 + 2 \left.\right) = \mathbf{i} \left(\right. - 1 \left.\right) - \mathbf{j} \left(\right. 1 \left.\right) + \mathbf{k} \left(\right. 2 \left.\right)\) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{u} = \left(\right. - 1 , - 1 , 2 \left.\right)\)4. Viết phương trình tham số của \(d\)
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M \left(\right. 3 ; 0 ; 0 \left.\right)\), nhận \(\overset{\rightarrow}{u} = \left(\right. - 1 , - 1 , 2 \left.\right)\) làm vector chỉ phương:
\(\boxed{\left{\right. x = 3 - t \\ y = 0 - t \\ z = 0 + 2 t \left(\right. t \in \mathbb{R} \left.\right)}\)Hoặc:
\(\boxed{\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2}}\)Kết luận
Phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là:
\(\boxed{\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2}}\)hoặc
\(\boxed{\left{\right. x = 3 - t \\ y = - t \\ z = 2 t}\)Nếu bạn cần giải thích thêm về các bước giải hoặc muốn biết cách tính khoảng cách, hãy hỏi nhé!
CM
22 tháng 12 2019
Ta có phương trình tham số của d là:
d : x - 3 2 = y + 2 1 = z + 1 - 1
Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình:
3 + 2t - 2 + t - 1 - t + 2 = 0 nên t = -1 nên M ( 1;-2;0 )
Lại có VTPT của (P) là n P → 1 ; 1 ; 1 , VTCP của d là u d → 2 ; 1 ; - 1
Vì ∆ nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u ∆ → = u d → ; n p → = 2 ; 3 ; - 1
Gọi N ( x;y;z ) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó M N → x - 1 ; y + 3 ; z
Ta có M N → vuông góc với u ∆ → nên ta có hệ phương trình: 2x - 3y + z - 11 = 0
Lại có N ∈ P và MN = 42 ta có hệ:
x + y + z = 2 2 x - 3 y + z - 11 = 0 x - 1 2 + y - 3 2 + z 2 = 42
Giải hệ ta tìm được hai nghiệm ( x;y;z ) là ( 5;-2;-5 ) và ( -3;-4;5 )
- Nếu N ( 5;-2;-5 ) ta có phương trình
∆ : x - 5 2 = y + 2 - 3 = z + 5 1
- Nếu N ( -3;-4;5 ) ta có phương trình
∆ = x + 3 2 = y + 4 - 3 = z - 5 1
Đáp án D
CM
17 tháng 6 2017
Đáp án C.
Gọi I là giao điểm của d và (P). Tọa độ I là nghiệm của hệ:
Ta có một vecto chỉ phương của ∆ như sau:
Vậy phương trình:
Chú ý: Do ∆ cắt d và ∆ nằm trong (P) nên ∆ phải đi qua I. Do đó ta có thể chọn được đáp là C mà không cần tìm VTCP của∆.
