ép chia \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2012} + x^{2011} + 1\) cho đa thức:

a) \(x^{2} - 1\)

Ta có: \(x^{2} - 1 = \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)\)

Theo định lý dư, phần dư là đa thức bậc nhỏ hơn 2: \(a x + b\).

Ta thay \(x = 1\) và \(x = - 1\):

• \(x = 1 : f \left(\right. 1 \left.\right) = 1^{2012} + 1^{2011} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\)
• \(x = - 1 : f \left(\right. - 1 \left.\right) = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2012} + \left(\right. - 1 \left.\right)^{2011} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1\)

Gọi phần dư là \(a x + b\):

• \(x = 1 : a \cdot 1 + b = 3 \Rightarrow a + b = 3\)
• \(x = - 1 : a \cdot \left(\right. - 1 \left.\right) + b = 1 \Rightarrow - a + b = 1\)

Giải hệ:

\(\left{\right. a + b = 3 \\ - b + a = - 1\)

Cộng hai phương trình:

\(\left(\right. a + b \left.\right) + \left(\right. - a + b \left.\right) = 3 + 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 b = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b = 2\)\(a + 2 = 3 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = 1\)

Vậy phần dư là: \(x + 2\)

b) \(x^{2} + x + 1\)

Tương tự, phần dư là đa thức bậc nhỏ hơn 2: \(a x + b\).

Nghiệm của \(x^{2} + x + 1 = 0\) là \(\omega , \omega^{2}\) với \(\omega = e^{2 \pi i / 3}\) (căn bậc 3 của 1, khác 1).

Tính \(f \left(\right. \omega \left.\right)\) và \(f \left(\right. \omega^{2} \left.\right)\):

• \(\omega^{3} = 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \omega^{2011} = \omega^{2011 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3}\), \(\omega^{2012} = \omega^{2012 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3}\)
• \(2011 \div 3 = 670\) dư 1, \(2012 \div 3 = 670\) dư 2

\(f \left(\right. \omega \left.\right) = \omega^{2012} + \omega^{2011} + 1 = \omega^{2} + \omega + 1\)

Nhưng \(\omega^{2} + \omega + 1 = 0\)

Tương tự, \(f \left(\right. \omega^{2} \left.\right) = \left(\right. \omega^{2} \left.\right)^{2012} + \left(\right. \omega^{2} \left.\right)^{2011} + 1\)

• \(\left(\right. \omega^{2} \left.\right)^{2012} = \left(\right. \omega^{2012} \left.\right)^{2} = \left(\right. \omega^{2} \left.\right)^{2} = \omega^{4} = \omega\)
• \(\left(\right. \omega^{2} \left.\right)^{2011} = \left(\right. \omega^{2} \left.\right)^{1} = \omega^{2}\)

\(f \left(\right. \omega^{2} \left.\right) = \omega + \omega^{2} + 1 = 0\)

Vậy phần dư là 0.

Tóm lại:

• a) Phần dư khi chia \(f \left(\right. x \left.\right)\) cho \(x^{2} - 1\) là \(x + 2\)
• b) Phần dư khi chia \(f \left(\right. x \left.\right)\) cho \(x^{2} + x + 1\) là 0