dấu ''*'' là dấu nhân ạ

Lời giải:

$(n+1)+(n+2)+...+(n+2020)=2025.1010$

$\underbrace{n+n+...+n}_{2020}+(1+2+...+2020)=2025.1010$

$2020n+\frac{2020.2021}{2}=2025.1010$

$2020n+1010.2021=2025.1010$

$2020n=4.1010=4040$

$n=2$

1) Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh \(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\). Do đó, để \(1^2+2^2+...+n^2⋮̸5\) thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮̸5\). Điều này có nghĩa là \(n\equiv3\left(mod5\right)\) hoặc \(n\equiv1\left(mod5\right)\). Tóm lại, để \(1^2+2^2+...+n^2⋮̸5\) thì \(n\equiv3\left(mod5\right)\) hoặc \(n\equiv1\left(mod5\right)\).

2) Ta so sánh \(a^3-7a^2+4a-14\) với \(a^3+3\). Ta thấy \(\left(a^3-7a^2+4a-14\right)-\left(a^3+3\right)\) \(=-7a^2+4a-17=D\). dễ thấy với mọi \(a\inℤ\) thì \(D< 0\) (thực ra với mọi \(a\inℝ\) thì vẫn có \(D< 0\)) nên \(a^3-7a^2+4a-14< a^3+3\), vì vậy \(a^3-7a^2+4a-14⋮̸a^3+3\). Vậy, không tồn tại \(a\inℤ\) thỏa mãn ycbt.

Mình làm 2 bài này trước nhé.

P = 1² + 2² + 3² +...+n² không chia hết cho 5

P = 1.(2-1) + 2.(3-1) + 3.(4-1)+...+n(n +1 - 1)

P = 1.2-1+ 2.3 - 2+ 3.4 - 3+...+ n(n+1) - n

P = 1.2 + 2.3 + 3.4+ ...+n(n+1) - (1+2+3+...+n)

P = n(n+1)(n+2):3 - (n+1)n:2

P = n(n+1){ \(\dfrac{n+2}{3}\) - \(\dfrac{1}{2}\)}

P = n(n+1)(\(\dfrac{2n+1}{6}\)) không chia hết cho 5 

⇒ n(n+1)(2n+1) không chia hết cho 5

⇒ n không chia hết cho 5

⇒ n = 5k + 1; n = 5k + 2; n = 5k + 3; n = 5k + 4

th1: n = 5k + 1 ⇒ n + 1 = 5k + 2 không chia hết cho 5  ; 2n + 1 = 10n + 3 không chia hết cho 5 vậy n = 5k + 1 (thỏa mãn)

th2: nếu n = 5k + 2 ⇒ n + 1 = 5k + 3 không chia hết cho 5;    2n + 1  = 10k + 5 ⋮ 5 (loại)

th3: nếu n = 5k + 3 ⇒  n + 1 = 5k +4 không chia hết cho 5;   2n + 1 = 10k + 7 không chia hết cho 5 (thỏa mãn)

th4 nếu n = 5k + 4 ⇒ n + 1 = 5k + 5 ⋮ 5 (loại)

Từ những lập luận trên ta có:

P không chia hết cho 5 khi 

\(\left[{}\begin{matrix}n=5k+1\\n=5k+3\end{matrix}\right.\) (n \(\in\) N)

3(n + 2) = 3(n - 2 + 4) = 3(n - 2) + 3.4 = 3(n - 2) + 12

help me. I have a test. 

hury up. I do not have many times

Bài 3: 

=>-3<x<2

(n + 2 ) x(n+2) = 2025

(n+2)² =2025

(n+2)² = 45² or (n+2)² =(-45)²

n+2 = 45 or n+2 = -45

n = 45 - 2 or n = -45 - 2

n = 43 or n = -47

Để \(\frac{n+3}{n+2}=\frac{n+2+1}{n+2}=1+\frac{1}{n+2}\in Z\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+2}\in Z\Leftrightarrow n+2\inƯ\left(1\right)\Leftrightarrow n+2\in\left\{-1;1\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{-3;-1\right\}\)

để \(\frac{n+3}{n+2}\in Z\Rightarrow\)n+3 chia hết cho n+2

=>(n+2)+1 chia hết cho n+2

=>1 chia hết n+2

\(\Rightarrow n+2\in\left\{-1;1\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-3;-1\right\}\)

vậy n=-3;-1