- S_ADM=S_BMC vì các đường cao bằng nhau và các cạnh đáy ứng với các đường cao bằng nhau.

a: Xét tứ giác ADKE có

AE//DK

AE=DK

góc EAD=90 độ

=>ADKE là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AECK có

AE//CK

AE=CK

=>AECK là hình bình hành

=>AK//EC

=>AK vuông góc DM

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=3\sqrt{5}\\DM=\sqrt{CD^2+CM^2}=3\sqrt{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) tam giác ADM cân tại M

Gọi F là trung điểm AD \(\Rightarrow ABMF\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow MF=AB=6\)

Theo tính chất trọng tâm: \(GF=\dfrac{1}{3}MF=2\)

\(DF=\dfrac{1}{2}AD=3\)

Đặt \(T=\left|\overrightarrow{GD}\right|=\left|\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FD}\right|\)

\(\Rightarrow T^2=GF^2+FD^2+2\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{DF}=GF^2+DF^2=2^2+3^2=13\) 

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{GD}\right|=\sqrt{13}\)

a: ABCD là hình chữ nhật

=>BC=AD

=>AD=6

ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2\)

=>BD=10

Xét ΔABD có AH là đường cao

nên \(S_{ABD}=\frac12\cdot AH\cdot BD\left(1\right)\)

ΔABD vuông tại A

=>\(S_{ABD}=\frac12\cdot AB\cdot AD\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AH\cdot BD=AB\cdot AD\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=48/10=4,8

b:

Xét ΔADH vuông tại H và ΔACB vuông tại B có

\(\hat{ADH}=\hat{ACB}\left(\hat{ADB}=\hat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔADH~ΔACB

c: ΔADH~ΔACB

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{DH}{CB}=\frac{2\cdot DM}{2\cdot CN}=\frac{DM}{CN}\)

Xét ΔADM và ΔACN có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{DM}{CN}\)

\(\hat{ADM}=\hat{ACN}\)

Do đó: ΔADM~ΔACN

a: Ta có: \(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AK=KB=DI=IC

Xét ΔDAI và ΔBCK có

AD=CB

\(\hat{ADI}=\hat{CBK}\)

DI=BK

Do đó: ΔDAI=ΔBCK

=>\(\hat{DAI}=\hat{BCK}\)

Xét ΔADM và ΔCBN có

\(\hat{ADM}=\hat{CBN}\) (hai góc so le trong, AD//CB)

AD=CB

\(\hat{DAM}=\hat{BCN}\)

Do đó:ΔADM=ΔCBN

b: Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

=>AI//CK

=>IM//CN

A B C D E M N O

a) Chu vi hình chữ nhật là :

\(\left(10+6\right)\times2=32\left(cm\right)\)

Do hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ấy nên chu vi của hình vuông ABCD là 32 cm

Cạnh hình vuông là :

\(32\div4=8\left(cm\right)\)

b) Do M là điểm chính giữa cạnh AB nên  \(AM=MB=\frac{AB}{2}=4\left(cm\right)\)

Ta có \(S_{\Delta ADM}=\frac{AD\times AM}{2}=\frac{8\times4}{2}=16\left(cm^2\right)\) 

Do N là điểm chính giữa cạnh BC nên  \(BN=NC=\frac{BC}{2}=4\left(cm\right)\)

      \(S_{\Delta ABN}=\frac{AB\times BN}{2}=\frac{8\times4}{2}=16\left(cm^2\right)\)

Xét  \(\Delta ABN\)và  \(\Delta AMN\)có chung đường cao hạ từ N xuống cạnh đáy 

Mà đáy AM của \(\Delta AMN\) \(=\frac{1}{2}\)đáy AB của  \(\Delta ABN\)

 \(\Rightarrow S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABN}=\frac{1}{2}\times16=8\left(cm^2\right)\)

Kẻ  \(NO\perp AD\)

Xét tứ giác ABNO có  \(\widehat{OAB}=\widehat{ABN}=\widehat{NOA}=90^o\)

\(\Rightarrow\) ABNO là hình chữ nhật 

\(\Rightarrow NO=AB=8\left(cm\right)\)

 \(S_{\Delta AND}=\frac{NO\times AD}{2}=\frac{8\times8}{2}=32\left(cm^2\right)\)

Vậy ...

xét ΔADM và ΔADN có:

AD chung

MAD=NAD(góc)

AMD=AND=90(góc)

⇒ΔADM=ΔADN(cạnh huyền--góc nhọn)