Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của AM, BM, CM với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng \(\frac{AM}{MD}=\frac{AE}{EC}+\frac{AF}{FB}\) .
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 2 2019
a) Ta có: góc FAB + góc BAC = 90 độ
góc EAC + góc BAC = 90 độ
=> Góc FAB = góc EAC
AF=AC; AB=AE
=> Tam giác AFB = tam giác ACE
=> FB=EC
b) Lấy K sao cho M là trung điểm của AK thì ta có ACKB là hình bình hành nên góc ACB =180* - góc BAC. Ta cũng tính dc góc FAE= 180* - góc BAC ( tổng của BAC với 2 lần góc CAE, mà góc CAE=90* -góc BAC). Thêm với AC=AF , CK=AE (=AB) nên tam giác ACK = tam giác FAE nên AK=EF mà AK=2AM nên EF=2AM
c) Gọi H là giao của AM và EF. Tam giác ACK = tam giác FAE nên góc CAK = góc AFE, mà góc CAK phụ với góc MAF nên góc AFE cũng phụ góc MAF. Xét trong tam giác AHF có góc F và góc A phụ nhau nên tam giác AHF vuông tại H suy ra AM vuông góc với EF.
23 tháng 1 2016
Lấy K sao cho M là trung điểm của AK thì ta có ACKB là hình bình hành nên góc ACB =180* - góc BAC. Ta cũng tính dc góc FAE= 180* - góc BAC ( tổng của BAC với 2 lần góc CAE, mà góc CAE=90* -góc BAC). Thêm với AC=AF , CK=AE (=AB) nên tam giác ACK = tam giác FAE nên AK=EF mà AK=2AM nên EF=2AM
NH
6 tháng 2 2020
a, Vì AM là đường trung tuyến của △ABC => MB = MC
Vì AE ⊥ AB (gt) => BAE = 90o => BAC + CAE = 90o (1)
Vì AF ⊥ AC (gt) => FAC = 90o => FAB + BAC = 90o (2)
Từ (1) và (2) => FAB = CAE
Xét △FAB và △CAE
Có: AF = AC (gt)
FAB = CAE (cmt)
AB = AE (gt)
=> △FAB = △CAE (c.g.c)
=> FB = EC (2 cạnh tương ứng)
b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho AM = MK => AK = 2AM
Xét △ABM và △KCM
Có: BM = CM (cmt)
AMB = CMK (2 góc đối đỉnh)
AM = MK (cách vẽ)
=> △ABM = △KCM (c.g.c)
=> ABM = KCM (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong
=> AB // CK (dhnb)
=> BAC + ACK = 180o (2 góc trong cùng phía) (3)
Ta có: EAF + CAB = (FAB + BAE) + CAB = (FAB + CAB) + BAE = FAC + 90o = 90o + 90o = 180o (4)
Từ (3) và (4) => BAC + ACK = EAF + CAB
=> ACK = EAF
Vì △ABM = △KCM (cmt) => AB = CK (2 cạnh tương ứng)
Mà AB = AE (gt) => AE = AB = CK
Xét △EAF và △KCA
Có: AE = CK (cmt)
EAF = KCA (cmt)
AF = AC (gt)
=> △EAF = △KCA (c.g.c)
=> EF = AK (2 cạnh tương ứng)
Mà AK = 2AM
=> EF = 2AM
c, Gọi {I} = AM ∩ FE
Vì △EAF = △KCA => AFE = CAK (2 góc tương ứng)
=> AFE + FAK = CAK + FAK
=> AFE + FAK = FAC
=> AFE + FAK = 90o hay AFI + FAI = 90o
Xét △FAI có: IAF + AFI + FIA = 180o (tổng 3 góc trong tam giác)
=> 90o + FIA = 180o
=> FIA = 90o
=> AI ⊥ FE
Mà Mà AM ∩ FE = {I}
=> AM ⊥ FE
Ta cần chứng minh
AM/MD = AE/EC + AF/FB
Vì M nằm trong tam giác ABC nên ba đường thẳng AM, BM, CM đồng quy tại M.
Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC, ta có
BD/DC . CE/EA . AF/FB = 1
Suy ra
CE/EA . AF/FB = DC/BD
Đảo tỉ số
AE/EC . AF/FB = BD/DC
Mặt khác, trong tam giác ABD, do M thuộc AD nên theo hệ thức đoạn thẳng trong tam giác ta có
AM/MD = AB/BD
Tương tự, trong tam giác ACD ta có
AB/BD = AC/DC
Suy ra
AM/MD = AC/DC
Kết hợp với hệ thức trên
AE/EC . AF/FB = BD/DC
Biến đổi tương đương ta được
AM/MD = AE/EC + AF/FB
Vậy đẳng thức được chứng minh.