Ta có: AM+MB=AB

BN+NC=BC

CP+PD=CD

DQ+QA=DA

mà AB=BC=CD=DA và AM=BN=CP=DQ

nên BM=CN=PD=QA

Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có

MA=NB

AQ=BM

Do đó: ΔMAQ=ΔNBM

=>MQ=NM

ΔMAQ=ΔNBM

=>\(\hat{AMQ}=\hat{BNM}\)

mà \(\hat{BNM}+\hat{BMN}=90^0\) (ΔBMN vuông tại B)

nên \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}=90^0\)

Ta có: \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}+\hat{QMN}=180^0\)

=>\(\hat{QMN}=180^0-90^0=90^0\)

Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có

MB=NC

BN=CP

Do đó: ΔMBN=ΔNCP

=>MN=NP

Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có

NC=PD

CP=DQ

Do đó: ΔNCP=ΔPDQ

=>NP=PQ

=>MQ=MN=NP=PQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN=NP=PQ=MQ

\(\hat{QMN}=90^0\)

Do đó: MNPQ là hình vuông

1: AM+MB=AB

BN+NC=BC

CP+PD=CD

QD+QA=AD

mà AB=BC=CD=AD và AM=BN=CP=QD

nên BM=CN=PD=QA

2: Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có

MA=NB

AQ=BM

Do đó: ΔMAQ=ΔNBM

=>MQ=MN(1)

Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có

MB=NC

BN=CP

Do đó: ΔMBN=ΔNCP

=>MN=NP(2)

Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có

NC=PD

CP=DQ

Do đó: ΔNCP=ΔPDQ

=>NP=PQ(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MQ=MN=NP=PQ

ΔMAQ=ΔNBM

=>\(\widehat{AMQ}=\widehat{BNM}\)

mà \(\widehat{BNM}+\widehat{BMN}=90^0\)(ΔBMN vuông tại B)

nên \(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90^0\)

\(\widehat{AMQ}+\widehat{QMN}+\widehat{NMB}=180^0\)

=>\(90^0+\widehat{QMN}=180^0\)

=>\(\widehat{QMN}=90^0\)

Xét tứ giác MNPQ có

MN=NP=PQ=MQ

nên MNPQ là hình thoi

Hình thoi MNPQ có \(\widehat{QMN}=90^0\)

nên MNPQ là hình vuông

a: Ta có: AM+MB=AB

BN+NC=BC

CP+PD=CD

DQ+QA=DA

mà AB=BC=CD=DA và AM=BN=CP=DQ

nên MB=NC=PD=QA

Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có

MA=NB

AQ=BM

Do đó: ΔMAQ=ΔNBM(1)

Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có

MB=NC

BN=CP

Do đó: ΔMBN=ΔNCP(2)

Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có

NC=PD

CP=DQ

Do đó: ΔNCP=ΔPDQ(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra ΔMAQ=ΔNBM=ΔPCN=ΔQDP

=>\(S_{MAQ}=S_{NBM}=S_{PCN}=S_{QDP}\)

b: ΔMAQ=ΔNBM

=>MQ=NM(1)

ΔNCP=ΔPDQ

=>NP=QP(2)

ΔMBN=ΔNCP

=>MN=NP(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MN=NP=PQ=QM

=>MNPQ là hình thoi

ΔMAQ=ΔNBM

=>\(\hat{AMQ}=\hat{BNM}\)

mà \(\hat{BNM}+\hat{BMN}=90^0\)

nên \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}=90^0\)

Ta có: \(\hat{AMQ}+\hat{BMN}+\hat{QMN}=180^0\)

=>\(\hat{QMN}=180^0-90^0=90^0\)

=>MNPQ là hình vuông

S_AMQ = \(\dfrac{1}{2}\)AM\(\times\)AQ  = \(\dfrac{1}{2}\times\) \(\dfrac{1}{2}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{8}\)\(\times\)S_ABCD

S_DPQ = \(\dfrac{1}{2}\)DQ\(\times\)DP   = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) AD\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)DP = \(\dfrac{1}{8}\) \(\times\) S_ABCD

CN    =   CB - BN     = CB - \(\dfrac{1}{3}\)CB = \(\dfrac{2}{3}\)CB

S_CPN = \(\dfrac{1}{2}\)CP\(\times\)CN   =  \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) CD\(\times\)\(\dfrac{2}{3}\)CB = \(\dfrac{1}{6}\)S_ABCD

S_BNM = \(\dfrac{1}{2}\)BN\(\times\)BM   = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)BC    = \(\dfrac{1}{12}\)S_ABCD

Diện tích tứ giác MNPQ bằng:  (1 - \(\dfrac{1}{8}\) - \(\dfrac{1}{8}\) - \(\dfrac{1}{6}\) - \(\dfrac{1}{12}\) )S_ABCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD

Diện tích của tứ giác MNPQ là: 240\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\) = 120 (cm²)

AM = BM = \(\dfrac{1}{2}\)AB; AQ = QD = \(\dfrac{1}{2}\) AD

S_AMQ = \(\dfrac{1}{2}\)AM\(\times\)AQ =\(\dfrac{1}{2}\times\) \(\dfrac{1}{2}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{8}\)S_ABCD = 240\(\times\)\(\dfrac{1}{8}\)=30(cm²)

DQ = QA = \(\dfrac{1}{2}\)AD; DP = PC = \(\dfrac{1}{2}\) DC

S_DPQ =\(\dfrac{1}{2}\times\)DP\(\times\) DQ =\(\dfrac{1}{2}\) \(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)AD\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)DC =\(\dfrac{1}{8}\)S_ABCD = 240\(\times\)\(\dfrac{1}{8}\)=30(cm²)

CN = BC - BN = BC - \(\dfrac{1}{3}\)BC = \(\dfrac{2}{3}\)BC

S_CPN = \(\dfrac{1}{2}\)CP\(\times\)CN= \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\) \(\dfrac{1}{2}\)CD \(\times\) \(\dfrac{2}{3}\) BC = \(\dfrac{1}{6}\)S_ABCD=240\(\times\dfrac{1}{6}\)=40 (cm²)

S_BMN=\(\dfrac{1}{2}\) BM\(\times\)BN =\(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)AB\(\times\)\(\dfrac{1}{3}\)BC=\(\dfrac{1}{12}\)S_ABCD=240\(\times\)\(\dfrac{1}{12}\)=20(cm²)

Diện tích tứ giác MNPQ là:

240 - (30 + 30 + 40 + 20) = 120(cm²)

Đáp số: 120 cm²

SMNPQ = SABCD - SAMQ - SBMN - SCNP - SDPQ

Tính diện tích tam giác AMQ :

SABQ / SABD = AQ / AD = 1/2 (hai tam giác chung đường cao hạ từ đỉnh B)

SABQ = SABD x 1/2 ( chú ý: SABD=1/2 SABCD)

SABQ = (216/2 ) x 1/2 = 54 (cm2)

SAMQ / SABQ = AM / AB = 1/2 (hai tam giác chung đường cao hạ từ Q)

SAMQ = SABQ x 1/2

SAMQ = 54 x 1/2 = 27 (cm2)

Tương tự, diện tích tam giác BMN :

SBMN = 36 (cm2)

Tương tự, diện tích tam giác CNP :

SCNP = 24 (cm2)

Tương tự, diện tích tam giác DPQ :

SDPQ = 18 (cm2)

⇒ SMNPQ = SABCD - SAMQ - SBMN - SCNP - SDPQ

SMNPQ = 216 - 27 - 36 - 24 - 18

SMNPQ = 111 (cm2)