Bài toán:

\(S = n^{2} + \left(\right. n + 2 \left.\right)^{2} + \left(\right. n + 4 \left.\right)^{2} + \hdots + \left(\right. n + 100 \left.\right)^{2} , n \in \mathbb{N}^{*}\)

Bước 1: Xác định số hạng

Các số hạng có dạng:

\(\left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2} , k = 0 , 1 , 2 , \ldots , 50\)

(vì từ \(0\) đến \(100\) cách nhau 2 thì có \(\frac{100}{2} = 50\) bước, tức 51 số hạng).

Bước 2: Viết tổng

\(S = \sum_{k = 0}^{50} \left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2}\)

Khai triển:

\(\left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2} = n^{2} + 4 n k + 4 k^{2}\)

Nên:

\(S = \sum_{k = 0}^{50} \left(\right. n^{2} + 4 n k + 4 k^{2} \left.\right)\)

Bước 3: Tách tổng

\(S = \sum_{k = 0}^{50} n^{2} + \sum_{k = 0}^{50} 4 n k + \sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2}\)

• \(\sum_{k = 0}^{50} n^{2} = 51 n^{2}\)
• \(\sum_{k = 0}^{50} 4 n k = 4 n \cdot \frac{50 \cdot 51}{2} = 4 n \cdot 1275 = 5100 n\)
• \(\sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2} = 4 \cdot \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6}\)

Bước 4: Tính \(\sum k^{2}\)

\(\sum_{k = 0}^{50} k^{2} = \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} = 42925\)

Vậy:

\(\sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2} = 4 \cdot 42925 = 171700\)

Bước 5: Kết quả cuối

\(S = 51 n^{2} + 5100 n + 171700\)

👉 Vậy tổng cần tìm là:

\(\boxed{S = 51 n^{2} + 5100 n + 171700}\)

Số số hạng của A là:100-1+1=100(số)

Tổng của A là:

(100+1).100:2=5050

Tổng quát: A=1+2+3+...+n=(n+1).n:2

A = 1+2+3+...+100

A = 100.(100+1):2 = 5050

1+2+3+.......+n = n(n+1):2

C = 2+4+6+.........+2016

C = (2 + 2016) x 1008 : 2 = 1017072 

 B = ( 100 - 1 ) . ( 100 - 2 ) . ( 100 - 3 ) ... ( 100 - n ) mà có 100 thừa số nên n bằng 100

suy ra thừa số  cuối cùng =0. Vậy biểu thức trên bằng 0

A = 13a + 19b + 4a - 2b với a + b = 100 

=(13a+4a)+(19b-2b)

=17a+17b=17x100

17(a+b)=1700

Vậy biểu thức trên bằng 1700

1) A = 13a + 19b + 4a - 2b

=> A = ( 13a + 4a ) = ( 19b - 2b )

=> A = 17a + 17b 

=> A = 17 . ( a + b ) mà a + b = 1000

=> A = 17 000

2) Ta có : B = ( 100 - 1 )( 100 - 2 ).....( 100 - n ) mà tích trên có 100 thừa số

Coi thừa số thứ 100 là a  , ta có :

( a - 1 ) : 1 + 1 = 100 => a - 1 = 99 => a = 100

Mà 100 - n là tích cuối => n = a = 100

=> 100 - n = 100 - 100 = 0

=> B = ( 100 - 1 ) . ( 100 - 2 ) . .... . 0 = 0