Ta có: \(\vert{}x^2 - 2x\vert{} - \frac{1}{2} < 2 - \vert{}x - 1\vert{}\)

=>\(\vert{}(x - 1)^2 - 1\vert{} + \vert{}x - 1\vert{} < \frac{5}{2}\) (1)

Đặt \(t = \vert{}x - 1\vert{} \ge 0\)

(1) =>\(\vert{}t^2 - 1\vert{} + t < \frac{5}{2}\)

Khi t=0 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|0^2-1\right|+0=1\) <5/2(nhận)

Khi t=1 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|1^2-1\right|+1=1<\frac52\) (nhận)

Khi t=2 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|2^2-1\right|+2=2^2-1+2=4-1+2=6-1=5>\frac52\)

=>Loại

Khi t>2 thì \(\left|t^2-1\right|+t\ge5>\frac52\)

=>Loại

Vậy: t=0 hoặc t=1

t=0

=>x-1=0

=>x=1

\(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|1^2-2\cdot1\right|-\frac12

=>\(\left|1-2\right|-\frac12

=>1/2<y<2

mà y nguyên

nên y=1

t=1

=>|x-1|=1

=>x-1=1 hoặc x-1=-1

=>x=2 hoặc x=0

Khi x=2 thì \(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|2^2-2\cdot2\right|-\frac12

=>\(-\frac12

mà y nguyên

nên y=0

Khi x=0 thì \(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|0^2-2\cdot0\right|-\frac12

=>\(-\frac12

mà y nguyên

nên y=0

\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)

Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm. 

Ta có\(\left(x+y-3\right)^2+6=\frac{12}{\left|y-1\right|+\left|y-3\right|}\left(1\right)\)

:\(\frac{12}{\left|y-1\right|+\left|y-3\right|}=\frac{12}{\left|y-1\right|+\left|3-y\right|}\le\frac{12}{\left|y-1+3-y\right|}=\frac{12}{2}=6\left(2\right)\)

\(\left(x+y-3\right)^2+6\ge6\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3)

Suy ra dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-3=0\\\left(y-1\right)\left(3-y\right)\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le y\le3\\x+y=3\end{cases}}\)

Với y=1 thì x=2

Với y=2 thì x=1

Với y=3 thì x=0

Vậy....................

 Nếu \(x< -3\) thì \(x^2+x+3< x^2\) và \(x^2+x+3>\left(x+1\right)^2\), vô lý.

 Nếu \(x>2\) thì \(x^2+x+3>x^2\) và \(x^2+x+3< \left(x+1\right)^2\), cũng vô lý.

 Do đó \(x\in\left\{-3;-2;-1;0;1;2\right\}\)

 Thử từng giá trị, ta thấy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-3;3\right);\left(-3;-3\right)\right\}\) là các cặp số thỏa ycbt.