ΔAED vuông tại A

=>\(AE^2+AD^2=ED^2\)

ΔABE vuông tại A

=>\(AB^2+AE^2=EB^2\)

\(ED^2-EB^2=AE^2+AD^2-AB^2-AE^2=AD^2-AB^2\) (1)

ΔADC vuông tại A

=>\(AD^2+AC^2=CD^2\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(CD^2-CB^2=AC^2+AD^2-AC^2-AB^2\)

\(=AD^2-AB^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(ED^2-EB^2=CD^2-CB^2\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ACD:

\(CD^2=AD^2+AC^2\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC:

\(CB^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow CD^2-CB^2=AD^2+AC^2-AB^2-AC^2=AD^2-AB^2\) (1)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADE:

\(ED^2=AD^2+AE^2\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABE:

\(EB^2=AB^2+AE^2\)

\(\Rightarrow ED^2-EB^2=AD^2+AE^2-AB^2-AE^2=AD^2-AB^2\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow CD^2-CB^2=ED^2-EB^2\)

Ta cần CM: \(CD^2-CB^2=ED^2-EB^2\Leftrightarrow CD^2-AB^2-AC^2=ED^2-EB^2\Leftrightarrow EB^2-AB^2=ED^2-\left(CD^2-AC^2\right)\Leftrightarrow AE^2=ED^2-AD^2\left(luônđúng\right)\) (vì các tam giác ACD, ABE,ADE đều vuông tại A) \(\Rightarrowđpcm\)

1; Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>BA=BE

2: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

\(\hat{ADF}=\hat{EDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAF=ΔDEC

a) Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có 

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEA\(\sim\)ΔHDB(g-g)

1: Xét ΔCAD có 

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCAD cân tại C

Help me

a: góc OBE+góc OCE=180 độ

=>OBEC nội tiếp

b: Xét ΔEBD và ΔEAB có

góc EBD=góc EAB

góc BED chung

=>ΔEBD đồng dạng với ΔEAB

=>EB/EA=ED/EB

=>EB^2=EA*ED

Lời giải:

1. $CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (cm) theo định lý Pitago

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$BH=\frac{AH^2}{CH}=\frac{3^2}{4}=2,25$ (cm) 

$BC=BH+CH=2,25+4=6,25$ (cm) 

2. 

Vì $AH$ là đường kính nên $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

Tứ giác $AEHF$ có $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^0$ nên là hình chữ nhật.

3. 

Vì $AEHF$ là hcn nên $\widehat{AEF}=\widehat{AHF}$
Mà $\widehat{AHF}=\widehat{C}$ (cùng phụ $\widehat{FHC}$)

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{C}$ nên $BEFC$ là tứ giác nội tiếp.

3. Gọi $T$ là trung điểm $HB$ 

Tam giavs $BEH$ vuông tại $E$ nên $ET=\frac{1}{2}BH=TH$

$\Rightarrow ETH$ cân tại $T$

$\Rightarrow \widehat{TEH}=\widehat{THE}=\widehat{C}$ (hai góc đồng vị với $EF\parallel AC$)

$=\widehat{AEF}$

$\Rightarrow \widehat{TEF}=\widehat{TEH}+\widehat{HEF}=\widehat{AEF}+\widehat{HEF}=\widehat{AEH}=90^0$

$\Rightarrow TE\perp EF$ nên $EF$ là tiếp tuyến đường tròn đường kính $BH$

Tương tự $EF$ là tiếp tuyến đường tròn đường kính $CH$ 

Ta có đpcm.

Hình vẽ: