\(\dfrac{x+1}{2020}+\dfrac{x-1}{2018}=\dfrac{x+5}{2024}+\dfrac{x-5}{2014}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x+1}{2020}-1\right)+\left(\dfrac{x-1}{2018}-1\right)-\left(\dfrac{x+5}{2024}-1\right)-\left(\dfrac{x-5}{2014}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2019}{2020}+\dfrac{x-2019}{2018}-\dfrac{x-2019}{2024}-\dfrac{x-2019}{2014}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2019\right)\left(\dfrac{1}{2020}+\dfrac{1}{2018}-\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2014}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-2019=0\\ \Leftrightarrow x=2019\)

Với x = 2023 

<=> x + 1 = 2024

Khi đó P(2023) = x²⁰²³ - (x + 1).x²⁰²² + ... + (x + 1).x - 1

= x²⁰²³ - x²⁰²³ - x²⁰²² + .. + x² + x - 1

= x - 1 = 2023 - 1 = 2022

(y - 1)²⁰²⁴ + |\(x+y-1\)| = 0

Vì (y - 1)²⁰²⁴ ≥ 0 ∀ y; |\(x+y-1\)| ≥ 0 ∀ \(x;y\)

(y - 1)²⁰²⁴ + |\(x+y-1\)| = 0 khi và chỉ khi 

 y - 1 = 0 và \(x+y-1\) = 0

y - 1 = 0 Suy ra y = 1. thay y = 1 vào biểu thức \(x+y-1=0\) ta có:

\(x+1-1=0\) ⇒ \(x=0-1+1\) \(x=0\)

Vậy \(x=0;y=1\) thay vào biểu thức A= \(x^{2024}\) + y²⁰²⁴ ta được:

A = 0²⁰²⁴ + 1²⁰²⁴ = 0 + 1 = 1 

Phương trình cần giải là:

\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 0\)

Đây là một phương trình bậc 4. Để giải phương trình này, ta sẽ thử một số giá trị đơn giản của \(b\) và tìm xem có nghiệm nào phù hợp không.

Thử với các giá trị của \(b\):

1. \(b = 2\):

Thay \(b = 2\) vào phương trình:

\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 2024\)\(= 16 - 24 + 20 - 6 - 2024\)\(= 16 - 24 + 20 - 6 - 2024 = - 2018 \neq 0\)

Vậy \(b = 2\) không phải là nghiệm.

2. \(b = 3\):

Thay \(b = 3\) vào phương trình:

\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 3^{4} - 3 \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 - 2024\)\(= 81 - 3 \cdot 27 + 5 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 2024\)\(= 81 - 81 + 45 - 9 - 2024\)\(= 81 - 81 + 45 - 9 - 2024 = - 1988 \neq 0\)

Vậy \(b = 3\) không phải là nghiệm.

3. \(b = - 1\):

Thay \(b = - 1\) vào phương trình:

\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = \left(\right. - 1 \left.\right)^{4} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} + 5 \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) - 2024\)\(= 1 - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) + 5 \left(\right. 1 \left.\right) - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) - 2024\)\(= 1 + 3 + 5 + 3 - 2024 = 12 - 2024 = - 2012 \neq 0\)

Vậy \(b = - 1\) không phải là nghiệm.

4. Thử các giá trị khác của \(b\) (bằng cách kiểm tra phương pháp giải các phương trình bậc 4 qua các kỹ thuật phân tích hay thuật toán số học).

Tham khảo

giải dễ hiểu 2/2024+4/2024+6/2024+....+2022/2024

\(S=C^0_{2024}+\dfrac{1}{2}C^2_{2024}+\dfrac{1}{3}C^4_{2024}+\dfrac{1}{4}C^6_{2024}+...+\dfrac{1}{1013}C^{2024}_{2024}\)

Ta có :

\(\dfrac{1}{k+1}C^{2k-1}_n=\dfrac{1}{k+1}.\dfrac{n!}{\left(2k-1\right)!\left(n-2k+1\right)!}\)

\(=\dfrac{1}{n+1}.\dfrac{\left(n+1\right)!}{2k!\left[\left(n+1\right)-2k\right]!}\)

\(=\dfrac{1}{n+1}C^{2k}_{n+1}\)

\(\Rightarrow S_n=\dfrac{1}{n+1}\Sigma^{2k}_{k=0}C^{2k}_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\left(\Sigma^{2k}_{k=0}C^{2k-1}_{n+1}-C^0_{n+1}\right)=\dfrac{2^{2n-1}-1}{n+1}\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{2^{2025}-1}{1013}\)

S = C₀₂₀₂₄ + 12.C₂₀₂₄ + 13.C₂₀₂₄ + 14.C₂₀₂₄ + ... + 11013.C₂₀₂₄

= (C₀₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + ... + C₂₀₂₄) + (C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + ... + C₂₀₂₄) + ... + (C₂₀₂₄)

= 11014.C₂₀₂₄

= 11014.

jhvugb