1 . 

2 . Luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau , mỗi thừa số bằng a

3 . a^m . aⁿ = a^{m + n}

a^m : aⁿ = a^{m - n}

4 . Ta nói số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khi có số tự nhiên q sao cho : a = bq

5 . Đối với biểu thức không có ngoặc :

Ta thực hiện phép tính nâng lên luỹ thừa , rồi đến nhân và chia , cuối cùng là cộng và trừ

Tổng quát : Luỹ thừa -> Nhân và chia -> Cộng và trừ

Đối với biểu thức có dấu ngoặc

Từ ngoặc tròn đến ngoặc vuông rồi cuối cùng đến ngoặc vuông

Tổng quát : ( ) -> [ ] -> { }

B

B

Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 
a) 7⁹⁹   b) 14¹⁴¹⁴   c) 4⁵⁶⁷

Lời giải : 
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 
9⁹ - 1 = (9 - 1)(9⁸ + 9⁷ + … + 9 + 1) chia hết cho 4 
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 7⁹⁹ = 7^{4k + 1} = 7^4k.7 
Do 7^4k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 7⁹⁹ có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 14¹⁴ = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 14¹⁴¹⁴ = 14^4k có chữ số tận cùng là 6. 
c) Ta có 5⁶⁷ - 1 chia hết cho 4 => 5⁶⁷ = 4k + 1 (k thuộc N) 
=> 4⁵⁶⁷ = 4^{4k + 1} = 4^4k.4, theo tính chất 1d, 4^4k có chữ số tận cùng là 6 nên 4⁵⁶⁷ có chữ số tận cùng là 4.

Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + … + 2004⁸⁰⁰⁹.

Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n^{4(n - 2) + 1}, n thuộc {2, 3, …, 2004}).

Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :

(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009.

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.

Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3.

Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2³ + 3⁷ + 4¹¹ + … + 2004⁸⁰¹¹.

Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n^{4(n - 2) + 3}, n thuộc {2, 3, …, 2004}).

Theo tính chất 3 thì 2³ có chữ số tận cùng là 8 ; 3⁷ có chữ số tận cùng là 7 ; 4¹¹ có chữ số tận cùng là 4 ; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.

* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo.

Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n² + n + 1 chia hết cho 1995²⁰⁰⁰.

Lời giải : 1995²⁰⁰⁰ tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n² + n + 1 có chia hết cho 5 không ?

Ta có n² + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n² + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n² + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n² + n + 1 không chia hết cho 5.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n² + n + 1 chia hết cho 1995²⁰⁰⁰.

Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau :

Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương :

a) M = 19^k + 5^k + 1995^k + 1996^k (với k chẵn)

b) N = 2004^2004k + 2003

Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ - 4 chia hết cho 5.

* Các bạn hãy giải các bài tập sau :

Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia :

a) 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + … + 2003⁸⁰⁰⁵ cho 5

b) 2³ + 3⁷ + 4¹¹ + … + 2003⁸⁰⁰⁷ cho 5

Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y :

X = 2² + 3⁶ + 4¹⁰ + … + 2004⁸⁰¹⁰

Y = 2⁸ + 3¹² + 4¹⁶ + … + 2004⁸⁰¹⁶

Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau :

U = 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + … + 2005⁸⁰¹³

V = 2³ + 3⁷ + 4¹¹ + … + 2005⁸⁰¹⁵

Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn :

19^x + 5^y + 1980z = 1975⁴³⁰ + 200

Tim so tu nhien n thoa man bieu thuc :n^2+n+1 chia het cho 1995^1996

Giup minh voi minh dang can gap

Câu 1:

Tính chất giao hoán:

a+b=b+a; \(a\cdot b=b\cdot a\)

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng là:

\(a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c\)

Câu 2: Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau và đều bằng a

Công thức minh họa là: \(a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\) (n số a)

Câu 3:

\(a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}\)

\(a^{n}:a^{m}=a^{n-m}\)

Câu 4: a chia hết cho b khi a=bk(k∈N)

Câu 5:

Nếu a chia hết cho c và b chia hết cho c thì a+b chia hết cho c

a⋮c; b⋮c

=>a+b⋮c

Câu 6:
Dấu hiệu chia hết cho 2: Số có tận cùng là 0;2;4;6;8

Dấu hiệu chia hết cho 3: Số có tổng các chữ số chia hết cho 3

Dấu hiệu chia hết cho 5: Số có tận cùng là 0 hoặc 5

Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9

Câu 7:

Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ có hai ước là 1 và chính nó

Vd: 2;3;5;7

Hợp số là số tự nhiên có từ hai ước trở lên

VD: 4;6;8;10

Câu 8: Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1

VD: 2;3

Câu 9: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số tự nhiên lớn nhất chia hết cho tất cả các số đó. Cách tìm là phân tích ra thừa số nguyên tố, rồi nhân các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất

Câu 10: BCNN của hai hay nhiều số là số tự nhiên nhỏ nhất mà chia hết cho tất cả các số đó. Cách tìm là phân tích ra thừa số nguyên tố, rồi nhân các thừa số nguyên tố cả chung và riêng với số mũ cao nhất

sao bạn lại lấy bài của Olm ?

1.Phép cộng:

giao hoán: a + b = b + a

Kết hợp : (a + b) + c = a + ( b + c)

Phép nhân:

Giao hoán: a . b = b . a

Kết hợp: (a . b) . c = a( b . c)

2, Luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số, mỡi thừa số bằng a

3, Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số: aⁿ . a^m = a^n+m

chia hai luỹ thừa cùng cơ số: aⁿ : a^m = a^n-m ( n lớn hơn hoặc bằng m, n khác 0)

1 

2 là n số tự nhiên a nhân với nhau

3 a^m/a^n=a^m-n ( phép chia )

  a^m*a^n=a^m+n

Với a chữ số 2 và phép toán lũy thừa, số lớn nhất là : 2.2.2.2 = 2⁴ = 16

Số lớn nhất được tạo bởi 4 chữ số 2 và phép toán lũy thừa là: 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴ = 16

Ủng hộ mk nha ^_-