Bài 1:

xy+2x-3y=1

=>x(y+2)-3y-6=1-6

=>x(y+2)-3(y+2)=-5

=>(x-3)(y+2)=-5

=>(x-3;y+2)∈{(1;-5);(-5;1);(-1;5);(5;-1)}

=>(x;y)∈{(4;-7);(-2;-1);(2;3);(8;-3)}

Bài 1:

xy+2x-3y=1

=>x(y+2)-3y-6=1-6

=>x(y+2)-3(y+2)=-5

=>(x-3)(y+2)=-5

=>(x-3;y+2)∈{(1;-5);(-5;1);(-1;5);(5;-1)}

=>(x;y)∈{(4;-7);(-2;-1);(2;3);(8;-3)}

4:

(x+1)(y-2)=5

=>\(\left(x+1;y-2\right)\in\left\{\left(1;5\right);\left(5;1\right);\left(-1;-5\right);\left(-5;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;7\right);\left(4;3\right);\left(-2;-3\right);\left(-6;1\right)\right\}\)

1×1=3

\(x^2+3y^2+4xy=2x+6y+24\)

=>(x+3y)(x+y)-2(x+3y)=24

=>(x+3y)(x+y-2)=24

=>(x+3y;x+y-2)∈{(1;24);(24;1);(-1;-24);(-24;-1);(2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(3;8);(8;3);(-3;-8);(-8;-3);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

mà x+3y+x+y-2=2x+4y-2=2(x+2y-1)⋮2

nên (x+3y;x+y-2)∈{((2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

TH1: x+3y=2 và x+y-2=12

=>x+3y=2 và x+y=14

=>x+3y-x-y=2-14

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=14

=>x=14-y=14-(-6)=20

=>Nhận

TH2: x+3y=12 và x+y-2=2

=>x+3y=12 và x+y=4

=>x+3y-x-y=12-4

=>2y=8

=>y=4

x+y=4

=>x=4-4=0

=>Nhận

TH3: x+3y=-2 và x+y-2=-12

=>x+3y=-2 và x+y=-10

=>x+3y-x-y=-2+10

=>2y=8

=>y=4

x+y=-10

=>x+4=-10

=>x=-14

=>Nhận

TH4: x+3y=-12 và x+y-2=-2

=>x+3y=-12 và x+y=0

=>x+3y-x-y=-12-0

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=0

=>x=-y=-(-6)=6

TH5: x+3y=4 và x+y-2=6

=>x+3y=4 và x+y=8

=>x+3y-x-y=4-8

=>2y=-4

=>y=-2

x+y=8

=>x-2=8

=>x=10

=>Nhận

TH6: x+3y=6 và x+y-2=4

=>x+3y=6 và x+y=6

=>x+3y-x-y=6-6=0

=>2y=0

=>y=0

x+y=6

=>x=6-y=6-0=6

=>Nhận

TH7: x+3y=-4 và x+y-2=-6

=>x+3y=-4 và x+y=-4

=>x+3y-x-y=-4-(-4)

=>2y=0

=>y=0

x+y=-4

=>0+y=-4

=>y=-4

TH8: x+3y=-6 và x+y-2=-4

=>x+3y=-6 và x+y=-2

=>x+3y-x-y=-6-(-2)

=>2y=-6+2=-4

=>y=-2

x+y=-2

=>x-2=-2

=>x=0

\(\dfrac{1}{3}< \dfrac{x}{y}< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{4}{12}< \dfrac{x}{y}< \dfrac{6}{12}\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{5}{12}\Rightarrow\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{12}\)

Áp dụng t/c dtsbn:

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{2x}{10}=\dfrac{3y}{36}=\dfrac{2x+3y}{10+36}=\dfrac{19}{46}\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{95}{46}\\y=\dfrac{114}{23}\end{matrix}\right.\)

Mà \(x,y\in Z\)

Vậy ko có x,y nguyên thỏa mãn đề

khó phết

Ta có: \(2x^2+y^2+3xy-3x-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

\(\Delta=\left(3y-3\right)^2-4\cdot2\cdot\left(y^2-3y+11\right)\)

\(=9y^2-18y+9-8y^2+24y-88=y^2+6y-79\)

\(=y^2+6y+9-88=\left(y+3\right)^2-88\)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì Δ phải là số chính phương

=>\(\left(y+3\right)^2-88=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(\left(y+3\right)^2-k^2=88\)

=>(y+3-k)(y+3+k)=88

=>(y+3-k;y+3+k)∈{(1;88);(88;1);(-1;-88);(-88;-1);(2;44);(44;2);(-2;-44);(-44;-2);(4;22);(-4;-22);(22;4);(-22;-4);(8;11);(-8;-11);(11;8);(-11;-8)}

TH1: y+3-k=1 và y+3+k=88

=>y+3-k+y+3+k=1+88

=>2y+6=89

=>2y=83

=>y=41,5(loại)

TH2: y+3-k=88 và y+3+k=1

=>y+3-k+y+3+k=1+88

=>2y+6=89

=>2y=83

=>y=41,5(loại)

TH3: y+3-k=-1 và y+3+k=-88

=>=>y+3-k+y+3+k=-1-88

=>2y+6=-89

=>2y=-95

=>y=-47,5(loại)

TH4: y+3-k=-88 và y+3+k=-1

=>=>y+3-k+y+3+k=-1-88

=>2y+6=-89

=>2y=-95

=>y=-47,5(loại)

TH5: y+3-k=2 và y+3+k=44

=>y+3-k+y+3+k=2+44

=>2y+6=46

=>2y=40

=>y=20(nhận)

\(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\left(3\cdot20-3\right)+20^2-3\cdot20+11=0\)

=>\(2x^2+57x+351=0\)

=>\(\left(2x+39\right)\left(x+9\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x+39=0\\ x+9=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=-39\\ x=-9\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac{39}{2}\left(loại\right)\\ x=-9\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH6: y+3-k=44 và y+3+k=2

=>y+3-k+y+3+k=2+44

=>2y+6=46

=>2y=40

=>y=20(nhận)

\(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\left(3\cdot20-3\right)+20^2-3\cdot20+11=0\)

=>\(2x^2+57x+351=0\)

=>\(\left(2x+39\right)\left(x+9\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x+39=0\\ x+9=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=-39\\ x=-9\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac{39}{2}\left(loại\right)\\ x=-9\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH7: y+3-k=-2 và y+3+k=-44

=>y+3-k+y+3+k=-2-44

=>2y+6=-46

=>2y=-52

=>y=-26

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\cdot\left\lbrack3\cdot\left(-26\right)-3\right\rbrack+\left(-26\right)^2-3\cdot\left(-26\right)+11=0\)

=>\(2x^2-81x+765=0\)

=>(x-15)(2x-51)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-15=0\\ 2x-51=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=15\left(nhận\right)\\ x=\frac{51}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH8: y+3-k=-44 và y+3+k=-2

=>y+3-k+y+3+k=-2-44

=>2y+6=-46

=>2y=-52

=>y=-26

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x^2+x\cdot\left\lbrack3\cdot\left(-26\right)-3\right\rbrack+\left(-26\right)^2-3\cdot\left(-26\right)+11=0\)

=>\(2x^2-81x+765=0\)

=>(x-15)(2x-51)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-15=0\\ 2x-51=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=15\left(nhận\right)\\ x=\frac{51}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH9: y+3-k=4 và y+3+k=22

=>y+3-k+y+3+k=4+22

=>2y+6=26

=>2y=20

=>y=10

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x_{}^2+x\left(3\cdot10-3\right)+10^2-3\cdot10+11=0\)

=>\(2x^2+27x+81=0\)

=>\(2x^2+18x+9x+81=0\)

=>(x+9)(2x+9)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+9=0\\ 2x+9=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-9\left(nhận\right)\\ x=-\frac92\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH10: y+3-k=22 và y+3+k=4

=>y+3-k+y+3+k=4+22

=>2y+6=26

=>2y=20

=>y=10

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x_{}^2+x\left(3\cdot10-3\right)+10^2-3\cdot10+11=0\)

=>\(2x^2+27x+81=0\)

=>\(2x^2+18x+9x+81=0\)

=>(x+9)(2x+9)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+9=0\\ 2x+9=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-9\left(nhận\right)\\ x=-\frac92\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH11: y+3-k=-4 và y+3+k=-22

=>y+3-k+y+3+k=-4-22

=>2y+6=-26

=>2y=-32

=>y=-16

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x_{}^2+x\cdot\left\lbrack3\cdot\left(-16\right)-3\right\rbrack+\left(-16\right)^2-3\cdot\left(-16\right)+11=0\)

=>\(2x^2-51x+315=0\)

=>\(2x^2-30x-21x+315=0\)

=>(x-15)(2x-21)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-15=0\\ 2x-21=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=15\left(nhận\right)\\ x=\frac{21}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH12: y+3-k=-22 và y+3+k=-4

=>y+3-k+y+3+k=-4-22

=>2y+6=-26

=>2y=-32

=>y=-16

Ta có: \(2x^2+x\left(3y-3\right)+y^2-3y+11=0\)

=>\(2x_{}^2+x\cdot\left\lbrack3\cdot\left(-16\right)-3\right\rbrack+\left(-16\right)^2-3\cdot\left(-16\right)+11=0\)

=>\(2x^2-51x+315=0\)

=>\(2x^2-30x-21x+315=0\)

=>(x-15)(2x-21)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-15=0\\ 2x-21=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=15\left(nhận\right)\\ x=\frac{21}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

TH13: y+3-k=8 và y+3+k=11

=>y+3-k+y+3+k=8+11

=>2y+6=19

=>2y=13

=>y=6,5(loại)

TH14: y+3-k=11 và y+3+k=8

=>y+3-k+y+3+k=8+11

=>2y+6=19

=>2y=13

=>y=6,5(loại)

TH15: y+3-k=-8 và y+3+k=-11

=>y+3-k+y+3+k=-8-11

=>2y+6=-19

=>2y=-25

=>y=-12,5(loại)

TH16: y+3-k=-11 và y+3+k=-8

=>y+3-k+y+3+k=-8-11

=>2y+6=-19

=>2y=-25

=>y=-12,5(loại)

(x,y) = (-5,3) ; (5,3) ; (-1,5) ; (1,5)

* Với \(y^2=9\)thì \(x^2=25\Rightarrow x=\pm5\left(TM\right)\)\(2x^2+3y^2=77\)

\(\Leftrightarrow2x^2+3\left(y^2-1\right)=74\)

Vì 74 chẵn, \(2x^2\)chẵn nên \(3\left(y^2-1\right)\)chẵn

\(\Leftrightarrow y^2-1\)chẵn\(\Leftrightarrow y^2\)lẻ

Mà \(3y^2\le77\Rightarrow y^2\le25\)\(\Rightarrow y^2\in\left\{1;9;25\right\}\)

* Với \(y^2=1\)thì \(x^2=37\left(L\right)\)

* Với \(y^2=9\)thì \(x^2=25\Rightarrow x=\pm5\left(TM\right)\)

* Với \(y^2=25\)thì \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\left(TM\right)\)

Lập bảng: