A B C H K D E F M

Em tài trợ cái hình cho mọi người dễ nhìn ạ!

à, cái chỗ đoạn thẳng H, A, D là đường đứt khúc ạ, em quên sửa!

1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do  H E ∥ B C ⊥ H A  ), nên tứ giác APEH nội tiếp.

Ta có A P H ^ = A E H ^  (góc nội tiếp)

= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)

⇒ P H ≡ P B

2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^  

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra  E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B

Tương tự F I ∥ H C ;   E F ∥ B C ⇒ Δ I E F   v à   Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.

a) Tam giác vuông ABO và ACO có chung cạnh huyền AO nên O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AB = AC nên ABC là tam giác cân tại A.

Lại có AO là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì AO đi qua H hay A, H, O thảng hàng.

Theo liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung, ta có \(\widehat{KDC}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có: \(\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)

Suy ra \(\widehat{KDC}=\widehat{COA}\)

Vậy thì \(\Delta KDC\sim\Delta COA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CK}{AC}=\frac{CD}{AO}\Rightarrow AC.CD=CK.AO\)

c) Ta thấy \(\widehat{ABN}=\widehat{NBC}\)   (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung chắn các cung bằng nhau)

Vậy nên BN là phân giác góc ABC.

Lại có AN là phân giác góc BAC nên N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

d) Gọi J là trực tâm tam giác ABC. Ta có ngay \(JC\perp AB;BJ\perp AC\)

Vậy thì BO // JC ; BJ // OC

Suy ra tứ giác JBOC là hình bình hành.

 Lại có OB = OC nên JBOC là hình thoi.

Từ đó ta có JB = JC = OB = OC = R.

Vậy khi A di chuyển trên tia By cố định thì BJ = R hay J thuộc đường tròn tâm B, bán kính R. 

a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn

Tâm là trung điểm M của BC

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

c: Gọi AD là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD⊥BA

mà CH⊥BA

nên CH//BD

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>CA⊥CD
mà BH⊥CA

nên BH//CD

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm cua DH

Xét ΔDHA có

M,O lần lượt là trung điểm của DH,DA

=>MO là đường trung bình của ΔDAH

=>MO=1/2HA

Sorry bạn nha ,mk ko bt làm câu d 

a. Xét tứ giác AEDB có AEB=BDE=90 

mà 2 góc này cùng nhìn cạnh AB 

nên tứ giác AEDB nội tiếp hay A,E,D,B cùng thuộc 1 đường tròn

b. Tứ giác BDEA nội tiếp (theo a )

nên BAM=BED(cùng nhìn cạnh DB)

mặt khác BAM=BNM (góc nội tiếp chắn cung BM)

nên BED=BNM

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DE//MN

c. Ta thấy MN là dây cung của (O) và OC là bán kính

nên OC vuông góc với MN (t/c đường kính vuông góc với dây cung)

mà theo b ta có MN//DE nên CO vuông góc với DE

câu c hình như ko chặt chẽ cho lắm

mik cx làm vậy nhưng thầy bảo ko chặt chẽ

bắt làm lại câu c,d