a) Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản:

+ Phương trình sin x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho sin α = a.

Khi đó phương trình trở thành sin x = sin α

⇒ Phương trình có nghiệm: 

+ Phương trình cos x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho cos α = a.

Khi đó phương trình trở thành cos x = cos α.

⇒ Phương trình có nghiệm: x = ±α + k2π (k ∈ Z).

+ Phương trình tan x = a.

Tìm một cung α sao cho tan α = a.

Khi đó phương trình trở thành tan x = tan α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

+ Phương trình cot x = a

Tìm một cung α sao cho cot α = a.

Khi đó phương trình trở thành cot x = cot α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

b) Cách giải phương trình a.sin x + b.cos x = c.

+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ⇒ Phương trình lượng giác cơ bản .

+ a ≠ 0 và b ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Ta giải phương trình trên như phương trình lượng giác cơ bản.

a: \(2\cdot cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-1=0\)

=>\(2\cdot cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1\)

=>\(cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}+k2\pi=\frac23\pi+k2\pi\\ x=k2\pi\end{array}\right.\)

b: \(\sin2x=\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ 2x=\pi-\frac{\pi}{3}+k2\pi=\frac23\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\ x=\frac{\pi}{3}+k\pi\end{array}\right.\)

c: \(cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=\sin x\)

=>\(cos\left(\frac12x+\frac{\pi}{6}\right)=cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)

=>\(\left[\begin{array}{l}\frac12x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}-x+k2\pi\\ \frac12x+\frac{\pi}{6}=x-\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}\frac12x+x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ \frac12x-x=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{array}\right.\)

=>\(\left[\begin{array}{l}\frac32x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ -\frac12x=-\frac43\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac29\pi+\frac{k4\pi}{3}\\ x=\frac83\pi-k4\pi\end{array}\right.\)

d: \(\cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=7\)

=>\(x+\frac{\pi}{6}=arc\cot\left(7\right)+k\pi\)

=>\(x=-\frac{\pi}{6}+arc\cot\left(7\right)+k\pi\)

e: \(\tan\left(2x-\frac34\pi\right)=1\)

=>\(2x-\frac34\pi=\frac{\pi}{4}+k\pi\)

=>\(2x=\pi+k\pi\)

=>\(x=\frac{\pi}{2}+\frac{k\pi}{2}\)

g: \(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\)

=>\(x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

=>\(x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+k2\pi=\frac{\pi}{4}+k2\pi\)

h: \(cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0\)

=>\(\frac12x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

=>\(\frac12x=\frac14\pi+k\pi\)

=>\(x=\frac12\pi+k2\pi\)

i: \(\sqrt2\cdot\sin\left(x+\frac23\pi\right)=-1\)

=>\(\sin\left(x+\frac23\pi\right)=-\frac{1}{\sqrt2}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+\frac23\pi=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ x+\frac23\pi=\pi+\frac{\pi}{4}+k2\pi=\frac54\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi}{4}-\frac23\pi+k2\pi=-\frac{11}{12}\pi+k2\pi\\ x=\frac54\pi-\frac23\pi+k2\pi=\frac{7}{12}\pi+k2\pi\end{array}\right.\)

k: \(4\cdot cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=5\)

=>\(cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac54>1\)

=>x∈∅

l: \(\sqrt2\cdot cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1=0\)

=>\(\sqrt2\cdot cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-1\)

=>\(cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi}{3}=\frac23\pi+k2\pi\\ x+\frac{\pi}{3}=-\frac23\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac13\pi+k2\pi\\ x=-\pi+k2\pi\end{array}\right.\)

m: \(cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt2}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+k2\pi=-\frac{\pi}{12}+k2\pi\\ x=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+k2\pi=-\frac{7}{12}\pi+k2\pi\end{array}\right.\)

\(x^2-\left(2-\sqrt{3}\right)x-2\sqrt{3}=0\)

\(\Delta=\left[-\left(2-\sqrt{3}\right)^2\right]-4\left(-2\sqrt{3}\right)\) 

\(=\left(4-4\sqrt{3}+3\right)+8\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}=\sqrt{3}^2+2.2.\sqrt{3}+2^2=\left(\sqrt{3}+2\right)^2>0\)

=> pt có 2 nghiệm phân biệt

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2-\sqrt{3}-\sqrt{3}-2}{2}=\dfrac{-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}\\x_2=\dfrac{2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\end{matrix}\right.\)

a: Thay m=-1 vào hệ, ta được:

\(\begin{cases}2\cdot\left(-1\right)\cdot x+y=2\\ 8x+\left(-1\right)\cdot y=-1+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-2x+y=2\\ 8x-y=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-2x+y+8x-y=2+1\\ 8x-y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x=3\\ y=8x-1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac12\\ y=8\cdot\frac12-1=4-1=3\end{cases}\)

b: Thay x=2 và y=6 vào hệ, ta được:

\(\begin{cases}2m\cdot2+6=2\\ 8\cdot2+m\cdot6=m+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4m=2-6=-4\\ 6m=m+2-16=m-14\end{cases}\)

=>m=-1 và 5m=-14

=>m∈∅

c: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{2m}{8}<>\frac{1}{m}\)

=>\(2m^2<>8\)

=>\(m^2<>4\)

=>m∉{2;-2}

\(\begin{cases}2mx+y=2\\ 8x+my=m+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2m^2x+my=2m\\ 8x+my=m+2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(2m^2-8\right)=2m-m-2\\ 2mx+y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{m-2}{2\left(m-2\right)\left(m+2\right)}=\frac{1}{2\left(m+2\right)}\\ y=2-2mx=2-\frac{2m}{2\left(m+2\right)}=2-\frac{m}{m+2}=\frac{2m+4-m}{m+2}=\frac{m+4}{m+2}\end{cases}\)

Để hệ vô nghiệm thì \(\frac{2m}{8}=\frac{1}{m}<>\frac{2}{m+2}\)

=>\(2m^2=8\) và m+2<>2m

=>\(m^2=4\) và m<>2

=>m=-2

Để hệ có vô số nghiệm thì \(\frac{2m}{8}=\frac{1}{m}=\frac{2}{m+2}\)

=>\(2m^2=8\) và m+2=2m

=>\(m^2=4\) và m=2

=>m=2

d: 4x+3y=7

=>\(\frac{4}{2\left(m+2\right)}+\frac{3\left(m+4\right)}{m+2}=7\)

=>\(\frac{2+3\left(m+4\right)}{m+2}=7\)

=>7(m+2)=3m+12+2

=>7m+14=3m+14

=>4m=0

=>m=0

x-y>0

=>\(\frac{1}{2\left(m+2\right)}-\frac{m+4}{m+2}\) >0

=>\(\frac{1-2\left(m+4\right)}{2\left(m+2\right)}\) >0

=>\(\frac{1-2m-8}{m+2}>0\)

=>\(\frac{-2m-7}{m+2}\) >0

=>\(\frac{2m+7}{m+2}\) <0

=>-7/2<m<-2

lỗi hình

lx hìnk còi

\(b,ĐK:-\dfrac{1}{3}\le x\le2\\ PT\Leftrightarrow3x+1=4x^2-16x+16\\ \Leftrightarrow4x^2-19x+15=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{15}{4}\left(ktm\right)\\x=1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\\ d,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5-3y\left(1\right)\\\left(5-3y\right)^2+2y^2=25\left(2\right)\end{matrix}\right.\\ \left(2\right)\Leftrightarrow11y^2-30y=0\\ \Leftrightarrow y\left(11y-30\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow x=5-3\cdot0=5\\y=\dfrac{30}{11}\Rightarrow y=5-3\cdot\dfrac{30}{11}=-\dfrac{35}{11}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(5;0\right);\left(-\dfrac{35}{11};\dfrac{30}{11}\right)\right\}\)

a)

`x^2+3x+2=0`

`<=>x^2+2x+x+2=0`

`<=>x(x+2)+(x+2)=0`

`<=>(x+2)(x+1)=0`

`<=>x+2=0` hoặc `x+1=0`

`<=>x=-2` hoặc `x=-1`

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5\\3x+2y=4\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}3x-9y=15\\3x+2y=4\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}-11y=11\\x-3y=5\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x-3\cdot\left(-1\right)=5\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=2\end{matrix}\right.\)

a) Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+4y=9\\x+y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=1\\x+y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{3}\\x=8-y=8-\dfrac{1}{3}=\dfrac{23}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi m=1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{23}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

b) Để hệ phương trình có nghiệm (1;3) thì 

Thay x=1 và y=3 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+12=9\\1+3m=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-3\\3m=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\notin\varnothing\)

Vậy: Không có giá trị nào của m để hệ phương trình có nghiệm (1;3)

Thay m=1 vào hpt trên ta có:

1.x+4y=9 và x+1y=8

<=> x+4y=9 và x+y=8

<=>  x+4y=9 và 4x+4y=32

<=> -3x = -23 và  x+y=8

<=> x = \(\dfrac{23}{3}\) và y = \(\dfrac{1}{3}\)

b) Để hệ phương trình có nghiệm (1;3)

=> x = 1; y = 3

Thay x = 1; y = 3 vào hpt trên ta có:

       m1+43=9 và 1+m3=8

<=> m+12 = 9 và 1 + 3m = 8

<=> m = -3 và m = \(\dfrac{7}{3}\)

Vậy m \(\in\left\{-3;\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right\}\) thì hệ phương trình có nghiệm (1;3)

c) mx+4y=9 và x+my=8 

SD phương pháp thế

Ra pt bậc nhất 1 ẩn: 8m - m²y + 4y = 9

                       <=> 8m -  y(m² -4) = 9

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất => m² -4 \(\ne\) 0

<=> m²  \(\ne\) 4

<=> m  \(\ne\) 2 và m  \(\ne\) -2

Gợi ý : Tìm đ/k của x trong căn thức 

Xét 2 TH : x + 1 > 0 \(;x+1\le0\)