a) xét tứ giác ANMB có góc ANB = góc AMB lại cùng nhìn cạnh AB nên theo cung chứa góc thì tứ giác ANMB nội tiếp 

b) có tứ giác ANMB nội tiếp nên góc AMN = góc ABN ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn (ANMB)

c) ta có tam giác AMC vuông tại M 

góc C = 30 độ thì góc MAC = 60 độ và là góc nội tiếp chắn cung MN 

=> góc MAC = 1/2 số đo cung MN 

=> số đo cung MN = 2.góc MAC = 2.60 = 120 độ 

vậy cung MN = 120 độ 

cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các đường tròn O và i đi qua A và tiếp xúc với BC tại các điểm B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng Minh

a) Các đường tròn O và i tiếp xúc với nhau

b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn O và i

c) tam giác OMI vuông

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMI.

làm hộ mình ý d với

Dễ thấy: ABCˆ=CDAˆ=BEAˆABC^=CDA^=BEA^ mà CDAˆ=NDGˆCDA^=NDG^(đối đỉnh)
=>GEMˆ=GDNˆ=>=>GEM^=GDN^=> Tam giác GDN đồng dạng vs Tam giác GEM
=>GNDˆ=GMEˆ=>AMNˆ=ANMˆ=>GND^=GME^=>AMN^=ANM^
Vậy tam giác AMN cân tại A

Vẽ hình ra luôn đi Nam.

a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)

mà \(\hat{BFE}+\hat{AFE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)

c:

Kẻ Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

=>OA⊥ Ax tại A

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//FE

mà OA⊥ Ax

nên OA⊥EF

a, ∆MAO = ∆PBO => MO = OP => ∆MNP cân

Vì đường cao NO đồng thời là đường trung tuyến

b,  1 O I 2 - 1 O M 2 + 1 O N 2

=  1 O P 2 + 1 O N 2 = 1 O B 2 => OI = R

=> MN là tiếp tuyến của (O)

c, AM.BN = MI.IN =  O I 2 = R 2

d,  S A M N B = M N . A B 2

=>  S A M N B min

<=>  M N m i n <=> AM = R