Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Nếu a ≥ 0, b  ≥  0, c  ≥  0 thì :

\(\frac{\Rightarrow\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)}{4}< =\frac{m^3+n^3}{2}\Rightarrow2\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)< =4\left(m^3+n^3\right)\)

\(\Rightarrow2\left(m^3+n^3+m^2n+mn^2\right)< =4\left(m^3+n^3\right)\Rightarrow2\left(m^3+n^3\right)+2\left(m^2n+mn^2\right)< =\)

\(2\left(m^3+n^3\right)+2\left(m^3+n^3\right)\Rightarrow2\left(m^2n+mn^2\right)< =2\left(m^3+n^3\right)\)

\(\Rightarrow2\left(m^2n+mn^2\right)-2\left(m^3+n^3\right)=2\left(m^2n+mn^2-m^3-n^3\right)< =0\)

\(\Rightarrow2\left(\left(m^2n-m^3\right)+\left(mn^2-n^3\right)\right)=2\left(m^2\left(n-m\right)+n^2\left(m-n\right)\right)\)

\(=2\left(m^2\left(n-m\right)-n^2\left(n-m\right)\right)=2\left(m^2-n^2\right)\left(n-m\right)=2\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(n-m\right)\)

\(=-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m-n\right)=-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)^2< =0\)

vì \(-2< 0;m+n>0;\left(m-n\right)^2>=0\Rightarrow-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)< =0\)luôn đúng

\(\Rightarrow\frac{m+n}{2}\cdot\frac{m^2+n^2}{2}< =\frac{m^3+n^3}{2}\)luôn đúng (đpcm)

dấu = xảy ra khi m=n

Ta biến đối tương đương:

\(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+4b^2\ge a^2+2ab+b^2\)( chia hia vế cho số dương a+b)

\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\) là đúng.

Giả sử \(a\left(2-b\right)>1,b\left(2-c\right)>1,c\left(2-a\right)>1\)

\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)>1\) (1)

Mặt khác, ta có: 

\(a\left(2-a\right)=-a^2+2a=-\left(a-1\right)^2+1\le1\)

Tương tự, \(b\left(2-b\right)\le1,c\left(2-c\right)\le1\)

\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le1\),điều này trái với (1)

Vậy điều giả sử là sai.

Do đó ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức trên là sai.

Vì a + b + c 3   ≥ a b c 3  và  a + b + c 3  không đổi nên  a + b + c 3  đạt giá trị nhỏ nhất ∛abc khi a = b = c.

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất.

Các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì  a + b + c 3  không đổi.

Vì  a + b + c 3   ≥   a b c 3  và  a + b + c 3  không đổi nên  a b c 3  đạt giá trị lớn nhất  a + b + c 3  khi a = b = c.

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}\ge\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+c+a}+\dfrac{1}{2c+a+b}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{nht}+\dfrac{1}{is}+\dfrac{1}{the}+\dfrac{1}{best}\ge\dfrac{16}{nht+is+the+best}\):

\(\dfrac{1}{2a+b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VP\le\dfrac{4}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)