Bạn tham khảo hình ảnh :

Cre : lazi.vn

Hok tốt

bạn tham khảo:

nguồn: lazi.vn

~HT~

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m+1}{1}<>\frac{-6}{-m}\)

=>m(m+1)<>6

=>\(m^2+m-6<>0\)

=>(m+3)(m-2)<>0

=>m∉{-3;2}

\(\begin{cases}x\left(m+1\right)-6y=4\\ x-my=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\left(m+1\right)-6y=4\\ x\left(m+1\right)-y\left(m^2+m\right)=2\left(m+1\right)\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(m+1\right)-6y-x\left(m+1\right)+y\left(m^2+m\right)=4-2m-2\\ x-my=2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\left(m^2+m-6\right)=-2m+2\\ x=my+2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac{-2m+2}{m^2+m-6}\\ x=m\cdot\frac{-2m+2}{m^2+m-6}+2=\frac{-2m^2+2m+2m^2+2m-12}{m^2+m-6}=\frac{4m-12}{m^2+m-6}\end{cases}\)

x,y là các số nguyên

=>4m-12⋮\(m^2+m-6\) và -2m+2⋮\(m^2+m-6\)

=>4m-12⋮\(m^2+m-6\) và -4m+4⋮\(m^2+m-6\)

=>4m-12-4m+4⋮\(m^2+m-6\)

=>-8⋮\(m^2+m-6\)

=>\(m^2+m-6\in\left\lbrace1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\rbrace\)

mà \(m^2+m-6=\left(m+\frac12\right)^2-\frac{25}{4}\ge-\frac{25}{4}\forall m\)

nên \(m^2+m-6\) ∈{1;-1;2;-2;4;-4;8}

TH1: \(m^2+m-6=1\)

=>\(m^2+m-7=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{29}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{29}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{29}}{2}\)

=>\(m=\frac{\pm\sqrt{29}-1}{2}\)

TH2: \(m^2+m-6=-1\)

=>\(m^2+m-5=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{21}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{21}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{21}}{2}\)

TH3: \(m^2+m-6=2\)

=>\(m^2+m-8=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{33}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{33}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{33}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{33}}{2}\)

TH4: \(m^2+m-6=-2\)

=>\(m^2+m-4=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{17}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{17}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\)

TH5: \(m^2+m-6=4\)

=>\(m^2+m-10=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{41}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{41}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{41}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{41}}{2}\)

TH6: \(m^2+m-6=-4\)

=>\(m^2+m-2=0\)

=>(m+2)(m-1)=0

=>m=-2 hoặc m=1

TH7: \(m^2+m-6=8\)

=>\(m^2+m-14=0\)

=>\(m^2+m+\frac14-\frac{57}{4}=0\)

=>\(\left(m+\frac12\right)^2=\frac{57}{4}\)

=>\(m+\frac12=\pm\frac{\sqrt{57}}{2}\)

=>\(m=-\frac12\pm\frac{\sqrt{57}}{2}\)

A, Ta có : 2xy + x + y = 7

=> 2(2xy + x + y) = 2 . 7

=> 4xy + 2x + 2y = 14

=> (4xy + 2x) + 2y + 1 = 14 + 1

=> 2x(2y + 1) + (2y + 1) = 15

=> (2x + 1)(2y + 1) = 15

=> 2x + 1;2y + 1 ∈ Ư(15) ∈ {-15;-5;-3;-1;1;3;5;15}

Vậy ta có bảng : 

=> (x;y) = (-8;-1);(-1;-8);(-2;-3);(-3;-2);(7;0);(0;7);(1;2);(2;1)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=2017=1.2017\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=2017\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-y=-1\\x+y=-2017\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1009\\y=1008\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-1009\\y=-1008\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(x^2-2xy-3y^2=3x-y+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy-3x-3y^2+y-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2y+3\right)-3y^2+y-2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x\left(2y+3\right)+\left(2y+3\right)^2-\left(2y+3\right)^2-12y^2+4y-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2y-3\right)^2-4y^2-12y-9-12y^2+4y-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2y-3\right)^2-16y^2-8y-17=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2y-3\right)^2-\left(16y^2+8y+1\right)=16\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2y-3\right)^2-\left(4y+1\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-6y-4\right)\left(2x+2y-2\right)=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y-2\right)\left(x+y-2\right)=4\)

Đến đây bn tự giải nha

Lời giải:

a.

Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$

$\Leftrightarrow x+2m=7$

$\Leftrightarrow x=7-2m$

$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$

Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$

Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$

Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:

$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$

Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$

b.

$xy>0$

$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$

$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$

$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$

Do $m$ nguyên nên $m=3$

Thử lại thấy đúng.