Cho đường thẳng d cố định ở ngoài đường tròn (O;R). Khoảng cách từ O đến d không nhỏ...
Đọc tiếp
Cho đường thẳng d cố định ở ngoài đường tròn (O;R). Khoảng cách từ O đến d không nhỏ hơn R√2. Từ 1 điểm M thuộc d dựng các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn tâm O (A, B là các tiếp điểm). Dựng cát tuyến MCD( tia MC nằm giữa hai tia MO, MA và MC<MD). Gọi E là trung điểm của CD. H là giao điểm của AB và MO
CM:
a) Các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường thẳng AB
b) Đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định
là góc ngoài của tam giác BAC
là góc ngoài của tam giác BAC
a: Gọi K là giao điểm của OE và AB
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB
ΔOCD cân tại O
mà OE là đường trung tuyến
nên OE⊥CD tại E
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\left(3\right)\)
Xét ΔOEM vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có
\(\hat{EOM}\) chung
Do đó: ΔOEM~ΔOHK
=>\(\frac{OE}{OH}=\frac{OM}{OK}\)
=>\(OE\cdot OK=OH\cdot OM\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(OE\cdot OK=R^2\)
=>\(OE\cdot OK=OC^2\) và \(OE\cdot OK=OD^2\)
=>\(\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OK}\) và \(\frac{OE}{OD}=\frac{OD}{OK}\)
Xét ΔOEC và ΔOCK có
\(\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OK}\)
góc EOC chung
Do đó: ΔOEC~ΔOCK
=>\(\hat{OEC}=\hat{OCK}\)
=>\(\hat{OCK}=90^0\)
=>KC là tiếp tuyến tại C của (O)(5)
Xét ΔOED và ΔODK có
\(\frac{OE}{OD}=\frac{OD}{OK}\)
góc EOD chung
Do đó: ΔOED~ΔODK
=>\(\hat{OED}=\hat{ODK}\)
=>\(\hat{ODK}=90^0\)
=>KD là tiếp tuyến tại D của (O)(6)
Từ (5),(6) suy ra các tiếp tuyến tại D và C của (O) cắt nhau tại một điểm K nằm trên AB
=>ĐPCM