Tự vẽ hình nhé.

a) Theo bài ra ABCD là HCN

=> AD=BC (1) ; AD//BC

Do AD//BC => ADB=DBC (2 góc so le trong) hay ADN=CBM (2)

Ta có AN vuông góc với BD => AND=ANB=90

         CM vuông góc với BD => CMD=CMB=90

Xét tam giác AND và tam giác CMB có

       AND=CMB=90

       AD=BC ( theo (1) )

       ADN = CBM ( theo (2) )

=> tam giác AND= tam giác CMB (cạnh huyền-góc nhọn)

=> ND = MB (2 cạnh tương ứng) (dpcm)

b)   Do AN vuông góc với BD và CM vuông góc với BD

=>AN//CM (mối quan hệ từ vuông góc đến song song)

Lại có:  tam giác AND= tam giác CMB (cạnh huyền-góc nhọn) 

             => AN = CM (2 cạnh tương ứng)

Xét tứ giác ANCM có AN=CM và AN//CM

   => tứ giác ANCM là hình bình hành.

c) Lại thấy AN//CM => KN // CM

  Xét tứ giác KCMN có KN=CM và KN // CM

=> tứ giác KCMN là hình bình hành

=> KC // MN

=> KC//BD

Xét tứ giác DKCB có KC//BD => tứ giác DKCB là hình thang.

d) Do K là điểm đối xứng với A qua N

=>NA=NK

=> N là trung điểm của AK.

=>PN là đường trung tuyến của tam giác AKP.

Mặt khác KC//MN => CP//MB => BMP= MPC (2 góc so le trong)

Mà AMN=BMP (2 góc đồng vị)

Từ đó suy ra AMN=MPC

Vì ANM=90 nên tam giác ANM vuông tại N 

=> NAM +AMN = 90

Vì MC vuông góc với BD mà BD//CP

=> MC vuông góc với CP (mqh..)

=> MCP = 90 => tam giác MCP vuông tại C => CMP+MPC=90 

Do đó NAM + AMN = CMP + MPC = 90

Mà AMN=MPC

=> NAM = CMP

Xét tam giác ANM và tam giác MCP có

NAM = CMP (theo cmt)

AN=CM (từ phần b)

ANM=MCP(=90)

=> tam giác ANM = tam giác MCP (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> AN=MP( 2 cạnh tương ứng)

và MN =CP ( 2 cạnh tương ứng)

Vì MN=CK và MN=CP

=> CK=CP

=> C là trung điểm của PK

=>AC là đường trung tuyến của tam giác AKP.

Do AM=MP => M là trung điểm của AP

=>KM là đường trung tuyến của tam giác AKP.

Xét tam giác AKP có PN là đường trung tuyến của tam giác AKP.

                                  AC là đường trung tuyến của tam giác AKP.

                                  KM là đường trung tuyến của tam giác AKP.

Từ đó suy ra PN, AC, KM đồng quy tại trọn tâm của tam giác AKP

Vậy..