Ta có 1 + ab² \(\ge\)\(2b\sqrt{a}\)

1 + bc² \(\ge2c\sqrt{b}\)

1 + ca² \(\ge2a\sqrt{c}\)

VT \(\ge\)\(2\left(\frac{b\sqrt{a}}{c^3}+\frac{c\sqrt{b}}{a^3}+\frac{a\sqrt{c}}{b^3}\right)\)

^{\(\ge2\frac{\left(\sqrt[4]{b^2a}+\sqrt[4]{c^2b}+\sqrt[4]{a^2c}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)}

^{\(\ge2\frac{\left(3\sqrt[12]{a^3b^3c^3}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)}

^{\(\ge\frac{18}{a^3+b^3+c^3}\)}

Bài 5.

1. Chứng minh

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

Ta có:

$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$

$=\dfrac{2b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{a^2-ab+2b^2}{ab(a+b)}$

$=\dfrac{(a-b)^2+b^2}{ab(a+b)}\ge0$

Vậy: $\boxed{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}}$

2. Chứng minh

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}$

Vì $a,b,c>0$ nên:

$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c>\dfrac1a$

Mà: $\dfrac1a>\dfrac{a}{a+b+c}$

Suy ra: $\boxed{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\ge\dfrac{a}{a+b+c}}$

1.

$a^3+b^4-ab(a+b)$

$=a^3+b^4-a^2b-ab^2$

$=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

$=(a-b)(a^2-b^2)$

$=(a-b)^2(a+b)\ge0$

Suy ra: $\boxed{a^3+b^4\ge ab(a+b)}$

2.

$a^4+b^4-ab(a^2+b^2)$

$=a^4+b^4-a^3b-ab^3$

$=a^3(a-b)+b^3(b-a)$

$=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^4+b^4\ge ab(a^2+b^2)}$

3.

$a^5+b^5-ab(a^3+b^3)$

$=a^5+b^5-a^4b-ab^4$

$=a^4(a-b)+b^4(b-a)$

$=(a-b)(a^4-b^4)$

$=(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\ge0$

Vậy: $\boxed{a^5+b^5\ge ab(a^3+b^3)}$

Đề bài phải là \(a^3\ge36\) nhé.

Ta có : \(\frac{a^2}{3}+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow\left[\frac{a^2}{4}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\right]+\frac{a^2}{12}-3bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^3-36abc}{12a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^3-36}{12a}\ge0\) luôn đúng với \(a^3\ge36\)

Xét hiệu:   a² + b² + c² - ab - ac - bc  

<=>  2(a² + b² + c² - ab - ac - bc)  

<=> a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ac + a²  

<=>  (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²   >=  0 

Dấu "=" xảy ra  <=>  a = b = c   mà  abc = 1   =>  a=b=c=1    =>  a^3 = 1

mà  a^3  >  36    (mâu thuẫn)

=>   a² + b² + c² - ab - ac - bc  >  0

<=>  a² + b² + c² >  ab + ac + bc

P/S: mk mới nghĩ ra cách này thôi, bn đọc tham khảo

Có : (a-b)^2 >= 0

<=> a^2+b^2 >= 2ab

Tương tự : b^2+c^2 >= 2bc

                  c^2+a^2 >= 2ca

=> 2.(a^2+b^2+c^2) >= 2.(ab+bc+ca)

<=> a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c và abc = 1 <=> a=b=c=1 <=> a^3 = 1 < 36 ( mâu thuẫn đề cho )

=> a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca

Tk mk nha

bạn có viết đề sai ko?