1: Xét (I) có

ΔAMC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại M

=>CM⊥DA tại M

Xét (J) có

ΔCNB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCNB vuông tại N

=>CN⊥DB tại N

Xét (O) có

ΔDAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔDAB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMCN là hình chữ nhật

2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có

\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Do đó: ΔDMN~ΔDBA

=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)

mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)

=>AMNB là tứ giác nội tiếp

c: ΔDNM~ΔDAB

=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)

Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)

=>OD⊥ Dx tại D

Xét (O) có

\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB

\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Dx//MN

=>MN⊥OD

d. OF//BD nên \(\widehat{FOD}=\widehat{ODB}\)

Mà \(\widehat{ODB}=\widehat{ODF}\Rightarrow\widehat{FOD}=\widehat{ODF}\)

Do đó FOD cân tại F

\(\Rightarrow OF=FD\)

Áp dụng Talet: \(\dfrac{BD}{FD}=\dfrac{BD}{OF}=\dfrac{DH}{HF}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{DF}+\dfrac{DF}{HF}=\dfrac{DH}{HF}+\dfrac{DF}{HF}=\dfrac{DH+DF}{HF}=\dfrac{HF}{HF}=1\left(đpcm\right)\)

a: ΔOCD vuông tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên MO=MC=MD

=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCOD

Xét hình thang ABDC có

O,M lần lượt là trung điểm của AB,DC

=>OM là đường trung bình của hình thang ABDC
=>OM//AC//BD

=>OM⊥AB tại O

=>AB là tiếp tuyến tại O của (M)

b: Gọi K là giao điểm của CO và BD

XétΔOAC vuông tại A và ΔOBK vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBK

=>OC=OK và AC=BK

Ke OH⊥CD tại H

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOK vuông tại O có

DO chung

OC=OK

Do đó: ΔDOC=ΔDOK

=>\(\hat{ODC}=\hat{ODK}\)

=>DO là phân giác của góc CDK

Xét ΔDHO vuông tại H và ΔDBO vuông tại B có

DO chung

\(\hat{HDO}=\hat{BDO}\)

Do đó: ΔDHO=ΔDBO

=>OH=OB

=>H nằm trên (O)

=>CD là tiếp tuyến tại H của (O)

c: Xét (O) có

CA,CH là các tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của góc HOA

Xét (O) có

DH,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DH=DB và OD là phân giác của góc HOB

ΔOHA cân tại O

mà OC là đường phân giác

nên OC⊥AH tại E và E là trung điểm của AH

ΔOHB cân tại O

mà OF là đường phân giác

nên OF⊥HB tại F và F là trung điểm của BH

Xét tứ giác OEHF có \(\hat{OEH}=\hat{OFH}=\hat{EOF}=90^0\)

nên OEHF là hình chữ nhật

=>EF=OH=R

=>EF không đổi

a: góc MAO+góc MCO=180 độ

=>MAOC nội tiếp

góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>AD vuông góc MB

Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

=>MA=MC

mà OA=OC

nên OM là trung trực của AC

=>OM vuông góc AC tại E

góc ADM=góc AEM=90 độ

=>AEDM là tứ giác nội tiếp

bỏ phần BRVT2009 NHA MN

SOS

1: Xét tứ giác OACM có

góc OAC+góc OMC=180 độ

=>OACM là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

nên OC là đường phân giác của góc AOM(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nen DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

=>OC vuông góc OD

=>1/OM^2=1/OC^2+1/OD^2=1/R^2

a: Xét (O) có

CE,CA là các tiếp tuyến

nên CE=CA và OC là phân giác của góc AOE(1)

Xét (O) có

DE,DB là các tiếp tuyến

nên DE=DB vàOD là phân giác của góc BOE(2)

CD=CE+ED

=>CD=CA+BD

b: Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: AC*BD=CE*ED=OE^2=R^2=36cm

a: góc CAO+góc CMO=180 độ

=>CAOM nội tiếp

góc DMO+góc DBO=180 độ

=>DMOB nội tiếp

b: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

=>CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc DOC=1/2*180=90 độ

Xét ΔDOC vuông tại O có OM là đường cao

nên CM*MD=OM^2

=>AC*BD=R^2

∆ ACB nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên  ∆ ABC vuông tại C

CO = OA = (1/2)AB (tính chất tam giác vuông)

AC = AO (bán kính đường tròn (A))

Suy ra: AC = AO = OC

∆ ACO đều góc AOC = 60 °

∆ ADB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB nên  ∆ ADB vuông tại D

DO = OB = OA = (1/2)AB (tính chất tam giác vuông)

BD = BO(bán kính đường tròn (B))

Suy ra: BO = OD = BD

∆ BOD đều