Bài 2:

a: Để \(x^2+3x\) là số chính phương thì \(x^2+3x=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(4x^2+12x=4k^2\)

=>\(4x^2+12x+9=4k^2+9\)

=>\(\left(2x+3\right)^2-\left(2k\right)^2=9\)

=>(2k+3-2k)(2k+3+2k)=9

=>(2x+3-2k;2x+3+2k)∈{(1;9);(9;1);(-1;-9);(-9;-1);(3;3);(-3;-3)}

TH1: 2x+3-2k=1 và 2x+3+2k=9

=>2x+3-2k+2x+3+2k=1+9

=>4x+6=10

=>4x=4

=>x=1(nhận)

TH2: 2x+3-2k=9 và 2x+3+2k=1

=>2x+3-2k+2x+3+2k=1+9

=>4x+6=10

=>4x=4

=>x=1(nhận)

TH3: 2x+3-2k=-1 và 2x+3+2k=-9

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-1-9

=>4x+6=-10

=>4x=-16

=>x=-4(nhận)

TH4: 2x+3-2k=-9 và 2x+3+2k=-1

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-1-9

=>4x+6=-10

=>4x=-16

=>x=-4(nhận)

TH5: 2x+3-2k=3 và 2x+3+2k=3

=>2x+3-2k+2x+3+2k=3+3

=>4x+6=6

=>4x=0

=>x=0(nhận)

TH6: 2x+3-2k=-3 và 2x+3+2k=-3

=>2x+3-2k+2x+3+2k=-3-3

=>4x+6=-6

=>4x=-12

=>x=-3(nhận)

b: Đặt \(x^2+x+6=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(4x^2+4x+24=4k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(4x^2+4x+1+23-4k^2=0\)

=>\(\left(2x+1\right)^2-\left(2k\right)^2=-23\)

=>(2x+1-2k)(2x+1+2k)=-23

=>(2x+1-2k;2x+1+2k)∈{(1;-23);(-23;1);(-1;23);(23;-1)}

TH1: 2x+1-2k=1 và 2x+1+2k=-23

=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-23

=>4x+2=-22

=>4x=-24

=>x=-6(nhận)

TH2: 2x+1-2k=-23 và 2x+1+2k=1

=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-23

=>4x+2=-22

=>4x=-24

=>x=-6(nhận)

TH3: 2x+1-2k=-1 và 2x+1+2k=23

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+23

=>4x+2=22

=>4x=20

=>x=5(nhận)

TH4: 2x+1-2k=23 và 2x+1+2k=-1

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+23

=>4x+2=22

=>4x=20

=>x=5(nhận)

2.

a.

\(x^2+3x=k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x=4k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x+9=4k^2+9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2=\left(2k\right)^2+9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2-\left(2k\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3-2k\right)\left(2x+3+2k\right)=9\)

Vậy \(x=\left\{-4;-3;0;1\right\}\)

b. Tương tự

\(x^2+x+6=k^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k\right)^2-\left(2x+1\right)^2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2x-1\right)\left(2k+2x+1\right)=23\)

Em tự lập bảng tương tự câu trên

1.

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2=-4y^2+y+1\)

\(\Leftrightarrow-4y^2+y+1=\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow-64y^2+16y+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(8y-1\right)^2\le17\)

\(\Rightarrow\left(8y-1\right)^2\le16\)

\(\Rightarrow-4\le8y-1\le4\)

\(\Rightarrow-\dfrac{3}{8}\le y\le\dfrac{5}{8}\)

\(\Rightarrow y=0\)

Thế vào pt ban đầu:

\(\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right);\left(1;0\right)\)

1)

Từ: \(\frac{3}{y}=\frac{7}{x}\)=>\(\frac{x}{7}=\frac{y}{3}\)

x+16=y =>x-y=-16

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{7}=\frac{y}{3}=\frac{x-y}{7-3}=\frac{-16}{4}=-4\)(vì x-y=-16)

=>\(\frac{x}{7}=-4=>x=-28\)

=>\(\frac{y}{3}=-4=>y=-12\)

Vậy x=-28 ;y=-12

2)

=>x²-3x+5 chia hết cho x-3

mà (x-3)² chia hết cho x-3

=>x²-3x+5 -(x-3)² chia hết cho x-3

=> x²-3x+5 -x²-9 chia hết cho x-3

=>-3x+(-4) chia hết cho x-3

lại có : 3.(x-3) chia hết cho x-3

=>-3x-(-4)+3.(x-3) chia hết cho x-3

=>-3x+(-4)+3x-9 chia hết cho x-3 

=>-13 chia hết cho x-3

=>x-3 \(\in\)Ư(13)={-1;1;-13;13}

=>x\(\in\){2;4;-9;16}

3x + xy + y = 0

=> x.(3 + y) = -y

\(\Rightarrow x=\frac{-y}{y+3}\)

Vì \(x\in Z\) nên \(\frac{-y}{y+3}\in Z\)

\(\Rightarrow-y⋮y+3\)

\(\Rightarrow y⋮y+3\)

\(\Rightarrow y+3-3⋮y+3\)

Do \(y+3⋮y+3\Rightarrow3⋮y+3\)

\(\Rightarrow y+3\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp giá trị (x;y) thỏa mãn đề bài là: (2;-2) ; (-4;-4) ; (0;0) ; (-2;-6)

3x + xy + y = 0

<=> x(3+y) + (3+y) = 3

<=> (3+y)(x+1) = 3

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp (x,y) thỏa mãn là: (-4;-4);(2;-2);(0;0);(-2;-6)