cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc (O) sao cho góc MAB=60 và điểm C thuộc đường kính AB, kẻ CH song song với BM. Tia phân giác của góc MAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F, dường thẳng MF cắt đường tròn tại N. a/ chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn. b/ Chứng minh góc MAF= góc FNC. Suy ra 3 điểm N, C, E thẳng hàng. C/ Tính theo r diện tích hình viên phân tạo bởi dây...
Đọc tiếp
cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc (O) sao cho góc MAB=60 và điểm C thuộc đường kính AB, kẻ CH song song với BM. Tia phân giác của góc MAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F, dường thẳng MF cắt đường tròn tại N. a/ chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn. b/ Chứng minh góc MAF= góc FNC. Suy ra 3 điểm N, C, E thẳng hàng. C/ Tính theo r diện tích hình viên phân tạo bởi dây AE cung nhỏ AE
a: ta có: CH//MB
=>\(\hat{ACF}=\hat{ABM}\) (hai góc đồng vị)(1)
Xét (O) có
\(\hat{ABM};\hat{ANM}\) là các góc nội tiếp chắn cung AM
Do đó: \(\hat{ABM}=\hat{ANM}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ANM}=\hat{ACF}\)
Xét tứ giác AFCN có \(\hat{ACF}=\hat{ANF}\)
nên AFCN là tứ giác nội tiếp
b: AFCN là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{FNC}=\hat{FAC}\)
mà \(\hat{FAC}=\hat{MAF}\) (AF là phân giác của góc MAB)
nên \(\hat{MAF}=\hat{FNC}\)
=>\(\hat{FNC}=\hat{MAE}\left(3\right)\)
Xét (O) có
\(\hat{MAE},\hat{MNE}\) là các góc nội tiếp chắn cung ME
Do đó: \(\hat{MAE}=\hat{MNE}\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(\hat{FNC}=\hat{MNE}\)
=>\(\hat{MNC}=\hat{MNE}\)
mà NC và NE có điểm chung là N
nên N,E,C thẳng hàng
c: AE là phân giác của góc MAB
=>\(\hat{MAE}=\hat{BAE}=\frac12\cdot\hat{MAB}=30^0\)
=>\(\hat{OAE}=30^0\)
ΔOAE cân tại O
=>\(\hat{AOE}=180^0-2\cdot\hat{OAE}=120^0\)
Diện tích hình quạt tròn AOE là:
\(S_{q\left(AOE\right)}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{n}{360}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{120}{360}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}\)
Diện tích tam giác AOE là:
\(S_{AOE}=\frac12\cdot OA\cdot OE\cdot\sin AOE=\frac12\cdot R\cdot R\cdot\sin120=\frac{R^2\sqrt3}{4}\)
Diện tích hình viên phân tạo bởi dây AE và cung nhỏ AE là:
\(S_{vp\left(AE\right)}=S_{q\left(OAE\right)}-S_{OAE}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt3}{4}=R^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}\right)\)