Ta có:

$\dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{1}{abc+bc+b}$

$=\dfrac{abc}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{1}{1+bc+b}$ (do $abc=1$)

$=\dfrac{abc}{a(bc+b+1)}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{1}{1+bc+b}$

$=\dfrac{bc}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{1}{1+bc+b}$

$=\dfrac{bc+b+1}{bc+b+1}=1$

(đpcm)

ừ

Vậy để mình giúp  

Phải là \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+bc+1}=1\) thì mới làm đc bạn à 

 c chia hết cho d => ca,cb chia hết cho d 
mà ab+bc+ca chia hết cho d 
\(\Rightarrow\)ab chia hết cho d => a hoặc b chia hết cho d (trái với a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau) 
vậy: giả thiết đưa ra là sai 
Kết luận: abc và ab+bc+ca nguyên tố cùng nhau

Doan Thanh Phuong đề bài yêu cầu khác bạn ạ

1) gọi số đó là ab 

theo bài ra ta có ab+ba=a+10b+b+10a=(10a+a)+(10b+b)=11a+11b

Vì 11a và 11b chia hết cho 11 nên 11a+11b chia hết cho 11

Vậy ab+ba chia hết cho 11

2) - a.b.c+ 2=333 

          a.b.c =333-2=331

- a.b.c+b=335         

b=335-331=2

- a.b.c+c=341

          c= 341-331 =10

=> Ta có: a.b.c=331

mà b=4; c=10 

=>4.10.c=331

=>40.c=331

mà 331 lại là số nguyên tố 

=> ko tồn tại các số tự nhiên a, b ,c nào

3) Có số abcd = 100ab +cd =200cd +cd (vì ab=2cd)

hay = 201cd

mà 201 chia hết cho 67

Do đó nếu ab=2cd thì abcd chia hết cho 67

1/1+a+ab  +1/1+b+bc  +1/1+c+ac

=1/a+1+ab  +a/a+ab+abc  +ab/ab+abc+acab

=1/a+1+ab  +a/a+ab+1  +ab/ab+1+a

=1+a+ab/1+a+ab

=1

vậy 1/a+1+ab  +1/1+b+bc  +1/1+c+ca =1(đpcm)

Đăt a=1/x; b=1/y; c=1/z

(Điều kiện: x>0;y>0; z>0)

abc=1

=>\(\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}=1\)

=>xyz=1

\(\frac{1}{a^2 + bc + 1}=\frac{1}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{yz} + 1}=\frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{x}{xyz}+1}=\frac{x^2}{x^2+x^3+1}\)

\(=\frac{x^2}{x^2 + x^3 + xyz}=\frac{x}{x + x^2 + yz}\)

Theo BĐT Cosi, ta có: \(y^2 + z^2 \ge 2yz \implies (y+z)^2 \ge 4yz\)

\(x^2 + yz \ge 2x\sqrt{yz} = 2\sqrt{x^3 \cdot xyz} = 2\sqrt{x^3}\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(x + x^2 + yz \ge x + xy + xz = x(x + y + z)\)

=>\(\frac{x}{x + x^2 + yz} \le \frac{x}{x(x + y + z)} = \frac{1}{x + y + z}\)

=>\(\frac{x^2}{x^2 + x^3 + 1} \le \frac{x}{x + y + z}\)

hay \(\frac{1}{a^2+bc+1}\le\frac{x}{x+y+z}\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

\(\frac{1}{b^2 + ca + 1} \le \frac{y}{x + y + z}\)

\(\frac{1}{c^2 + ab + 1} \le \frac{z}{x + y + z}\)

Do đó: \(\frac{1}{a^2 + bc + 1} + \frac{1}{b^2 + ca + 1} + \frac{1}{c^2 + ab + 1} \le \frac{x + y + z}{x + y + z} = 1\) (ĐPCM)