a, Ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{(a+b)}{ab}\ge\frac{4}{(a+b)}\)

\(\Rightarrow(a+b)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow(a-b)^2\ge0(đpcm)\)

Mình để cho dấu lớn bằng để dễ hiểu nha bạn

c,Ta có : \(x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1\ge1\)

Dấu " = "xảy ra  khi : \((x-2)^2=0\Rightarrow x=x-2=0\Rightarrow x=2\)

Rồi bạn tự suy ra.Mk chắc đúng không nữa nên bạn thông cảm

Còn câu b và d bạn tự làm nhé

Chúc bạn học tốt

\(a,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)(luôn đúng vì a>0,b>0)

dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b

\(b,x+\frac{1}{x}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x-2+\frac{1}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-2x+1}{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)(luôn đúng)

dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi x=1

áp dụng\(x+\frac{1}{x}\ge2\)(c/m trên)  =>GTNN là 2 

dấu ''='' xay ra khi và chỉ khi x=1

\(c,\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1\ge1\)

=> GTNN là 1 tại x=2

\(d,\frac{-\left(x^2+4x+4+6\right)}{x^2+2018}=\frac{-\left(x+2\right)-6}{x^2+2018}< 0\)

vì -(x+2 )-6 <-6

Áp dụng bđt cô si với 2 số dương 4x và 1/4x ta có: 4x+1/4x  ≥  2(1)

Đặt (4√x +3)/ (x+1) =B ; √x =t => x=t^2

ta có  : B(t^2 +1) = 4t+3

<=>Bt^2 -4t+B-3=0

Xét delta =b^2 -4ac = 16-4B(B-3)= -4B^2 +12B+16  ≥  0(*) (Để phương trình có gtnn thì pt phải có nghiệm nên delta  ≥  0)

Từ (*) => B^2 -3B-4  ≤ 0

<=> (B-4)(B+1) ≤ 0
=> -1 ≤ B ≤ 4

=>-B ≥ -4(2)

TỪ (1) và (2) => A  ≥ 2+(-4)+2016=2014

Dấu = xảy ra <=> 4x=1/4x và B=4 (tự giải tìm x , ta sẽ được x = 1/4)

Xét \(B=\frac{x+1}{4\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow16B=\frac{16x+16}{4\sqrt{x}+3}.\)\(=\frac{\left(4\sqrt{x}+3\right)\left(4\sqrt{x}-3\right)+25}{4\sqrt{x}+3}\)

\(=4\sqrt{x}-3+\frac{25}{4\sqrt{x}+3}=4\sqrt{x}+3+\frac{25}{4\sqrt{x}+3}-6\)

Áp dụng BĐT Cauchy

\(16B\ge2\sqrt{25}-6=4\Leftrightarrow B\ge\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}\ge-4\)

Áp dụng bđt Cauchy

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{4x.1}{4x}}-4+2016=2014\)

Vậy Min A=2014 khi x=1/4

Mình nghĩ k tìm đc GTNN của mấy cái này đâu =))

Phép toán nhiều ràng buộc

\(A=\frac{\left(4x+1\right)\left(4+x\right)}{x}=\frac{4x^2+17x+4}{x}=4x+17+\frac{4}{x}=17+4\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

Bạn tự chứng minh được \(x>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}\ge2\)

Khi đó \(A\ge17+4.2=17+8=25\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=\frac{1}{x}\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1\left(x>0\right)\)

Vậy \(A_{min}=25\Leftrightarrow x=1\) (x > 0)